《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

24. (8分)(2024·苏州期中)如图①,已知$△ABC$为直角三角形,$∠BCA = 90^{\circ}$,在$BC的延长线上取一点D$,使得$CD = \frac{1}{2}AB$,$E是AB$的中点,连接$DE$,$M为ED$的中点,连接$CM$,$AD$.
(1)试判断$CM与ED$的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠AED = 105^{\circ}$,请求出$∠BAC$的度数;
(3)如果将题中“在$BC的延长线上取一点D$”改为“在$CB的延长线上取一点D$”,其余条件不变,如图②所示,若$∠AED = 165^{\circ}$,请求出$∠BAC$的度数.

答案：
(1)CM⊥ED.理由如下:如图①,连接CE.
∵∠BCA=90°,E是AB的中点,
∴AB=2CE.
∵CD=$\frac{1}{2}$AB,
∴CE=CD.
∵M为ED的中点,
∴CM⊥ED.
(2)
∵∠BCA=90°,E是AB的中点,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠B=∠ECB.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠DEC,
∴∠ECB=∠DEC+∠CDE=2∠CDE,
∴∠B=2∠CDE.
∵∠AED=∠B+∠CDE,
∴∠AED=3∠CDE.
∵∠AED=105°,
∴∠CDE=35°,
∴∠B=70°.
∵∠BCA=90°,
∴∠BAC=180°−90°−70°=20°.
(3)如图②,连接CE.
∵∠BCA=90°,E是AB的中点,
∴AB=2CE,BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB.
∵CD=$\frac{1}{2}$AB,
∴CE=CD,
∴∠CDE=∠DEC.
∵∠AED=165°,
∴∠BED=180°−165°=15°.
∵∠EBC=∠CDE+∠BED,
∴∠EBC=∠ECB=∠CDE+15°.
∵∠AED=∠CDE+∠DBE,∠DBE=∠ECB+∠CEB,
∴∠AED=∠CDE+∠ECB+∠CEB.
∵∠CEB=∠CED−∠BED,
∴∠CEB=∠CDE−15°,
∴∠AED=∠CDE+∠CDE+15°+∠CDE−15°=3∠CDE,
∴∠CDE=55°,
∴∠EBC=55°+15°=70°,
∴∠BAC=180°−90°−70°=20°.

25. (10分)如图①,在五边形$ABCDE$中,$∠E = 90^{\circ}$,$BC = DE$.连接$AC$,$AD$,且$AB = AD$,$AC⊥BC$.
(1)求证:$AC = AE$;
(2)如图②,若$∠ABC = ∠CAD$,$AF为△ABE中BE$边上的中线,求证:$AF⊥CD$;
(3)如图③,在(2)的条件下,若$AE = 6$,$DE = 4$,则五边形$ABCDE$的面积为____42.

答案：
(1)
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°=∠E.在Rt△ABC和Rt△ADE中,{AB=AD,BC=DE,}
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AE.
(2)延长AF,BC交于点G,如图.
∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE.又∠ABC=∠CAD,
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB,
∴BG//AE,
∴∠G=∠EAG.在△AEF和△GBF中,{∠AFE=∠GFB,∠EAF=∠BGF,EF=BF,}
∴△AEF≌△GBF(AAS),
∴AE=BG.
∵AC=AE,
∴BG=AC.在△ABG和△DAC中,{AB=DA,∠ABG=∠DAC,BG=AC,}
∴△ABG≌△DAC(SAS),
∴∠G=∠ACD.
∵∠ACG=∠ACB=90°,即∠ACD+∠GCD=90°,
∴∠G+∠GCD=90°,
∴AF⊥CD.
(3)42