《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (8 分) 如图,在平面直角坐标系中,直线 $l_1:y = kx + 4(k ＜ 0)$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$,与 $x$ 轴相交于点 $B$,且与直线 $l_2:y = x$ 相交于点 $C$. 点 $P$ 在直线 $l_1$ 上运动(不与点 $C$ 重合),过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线,与直线 $l_2$ 相交于点 $Q$,连接 $OP$,$AQ$,记 $\triangle OCP$ 的面积为 $S_1$,$\triangle ACQ$ 的面积为 $S_2$.
(1) 若点 $C$ 的横坐标为 1.
① 求 $k$ 的值;
② 当点 $P$ 在线段 $AC$ 上(点 $C$ 除外)时,试探究: $\frac{S_1}{S_2}$ 的值是否是定值. 若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2) 当 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{2}$,且 $OP = OQ$ 时,线段 $PQ$ 的长为______.

(1)①
∵点C的横坐标为1，且点C是直线$l_{1}$与直线$l_{2}$的交点，
∴点C的纵坐标为y = x = 1.把点C的坐标(1,1)代入y = kx + 4，可得k + 4 = 1，解得k = -3.
②$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值，这个定值为$\frac{1}{3}$.理由：由①可知直线$l_{1}$的表达式为y = -3x + 4，当x = 0时，可得y = 4，
∴点A的坐标为(0,4)，
∴OA = 4.设点P的坐标为$(x_{p},-3x_{p}+4)$，点Q的坐标为$(-3x_{p}+4,-3x_{p}+4)$，
∴$S_{1}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}OA\cdot|x_{C}|-\frac{1}{2}OA\cdot|x_{p}|=\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×4× x_{p}=2(1 - x_{p})$，$S_{2}=S_{\triangle AOQ}-S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot|x_{Q}|-\frac{1}{2}AO\cdot|x_{C}|=\frac{1}{2}×4×(-3x_{p}+4)-\frac{1}{2}×4×1=6(1 - x_{p})$，
∴$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2(1 - x_{p})}{6(1 - x_{p})}=\frac{1}{3}$，故$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值，这个定值为$\frac{1}{3}$.
(2)8

答案：
(1)①
∵点C的横坐标为1，且点C是直线$l_{1}$与直线$l_{2}$的交点，
∴点C的纵坐标为y = x = 1.把点C的坐标(1,1)代入y = kx + 4，可得k + 4 = 1，解得k = -3.
②$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值，这个定值为$\frac{1}{3}$.理由：由①可知直线$l_{1}$的表达式为y = -3x + 4，当x = 0时，可得y = 4，
∴点A的坐标为(0,4)，
∴OA = 4.设点P的坐标为$(x_{p},-3x_{p}+4)$，点Q的坐标为$(-3x_{p}+4,-3x_{p}+4)$，
∴$S_{1}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}OA\cdot|x_{C}|-\frac{1}{2}OA\cdot|x_{p}|=\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×4× x_{p}=2(1 - x_{p})$，$S_{2}=S_{\triangle AOQ}-S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot|x_{Q}|-\frac{1}{2}AO\cdot|x_{C}|=\frac{1}{2}×4×(-3x_{p}+4)-\frac{1}{2}×4×1=6(1 - x_{p})$，
∴$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2(1 - x_{p})}{6(1 - x_{p})}=\frac{1}{3}$，故$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值，这个定值为$\frac{1}{3}$.
(2)8 【解析】
∵PQ//x轴，且OP = OQ，则y轴是PQ的垂直平分线，
∴点P在点C的右侧，即点P的横坐标为正，设点P的坐标为(x,kx + 4)，则点Q的坐标为(-x,-x)，
∴kx + 4 = -x，解得$x = -\frac{4}{1 + k}$.
∴点P的坐标为$(-\frac{4}{1 + k},\frac{4}{1 + k})$，则点Q的坐标为$(\frac{4}{1 + k},\frac{4}{1 + k})$，联立$\begin{cases}y = kx + 4\\y = x\end{cases}$，得$\begin{cases}x=\frac{4}{1 - k}\\y=\frac{4}{1 - k}\end{cases}$.
∴点C的坐标为$(\frac{4}{1 - k},\frac{4}{1 - k})$.如图所示，
∵点P的横坐标为正，
∴1 + k ＜ 0，即k ＜ -1，
∴$S_{1}=S_{\triangle OAP}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×4×|-\frac{4}{1 + k}|-\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1 - k}|=\frac{-8}{1 + k}-\frac{8}{1 - k}$，$S_{2}=S_{\triangle OAQ}+S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1 + k}|+\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1 - k}|=\frac{-8}{1 + k}+\frac{8}{1 - k}$.
∵$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$2(-\frac{8}{1 + k}-\frac{8}{1 - k})=-\frac{8}{1 + k}+\frac{8}{1 - k}$，解得k = -2，经检验k = -2是分式方程的根，
∴点P的坐标为(4,-4)，点Q的坐标为(-4,-4)，
∴PQ = 4 - (-4) = 8.