《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

5. (2024·邵阳模拟)中国的《周髀算经》明确记载了:勾广三,股修四,径隅五,还给出了勾股定理的一般形式.在西方数学史中,勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理.我们把像3,4,5这样一组满足a^{2}+b^{2}= c^{2}的正整数解称为勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成如下的表,其中每行数均为勾股数.观察表中每列数的规律,可知x+y的值为____.

98

答案： 5.98 【解析】由题可得,3 = 2² - 1,4 = 2×2,5 = 2² + 1;8 = 3² - 1,6 = 2×3,10 = 3² + 1;15 = 4² - 1,8 = 2×4,17 = 4² + 1;24 = 5² - 1,10 = 2×5,26 = 5² + 1;…;80 = 9² - 1,18 = 2×9,82 = 9² + a,
∴x = 80,y = 18,
∴x + y = 98。

6. (2024·绥化中考)如图,已知$A_{1}(1,-\sqrt{3}),A_{2}(3,-\sqrt{3}),A_{3}(4,0),A_{4}(6,0),A_{5}(7,\sqrt{3}),A_{6}(9,\sqrt{3}),A_{7}(10,0),A_{8}(11,-\sqrt{3}),…$,依此规律,则点$A_{2024}$的坐标为____.

(2891,-√3)

答案： 6.(2891,-√3) 【解析】由题知,点A₁的坐标为(1,-√3),点A₂的坐标为(3,-√3),点A₃的坐标为(4,0),点A₄的坐标为(6,0),点A₅的坐标为(7,√3),点A₆的坐标为(9,√3),点A₇的坐标为(10,0),点A₈的坐标为(11,-√3),点A₉的坐标为(13,-√3),…,由此可见,每隔七个点,点Aₙ的横坐标增加10,且纵坐标按-√3,-√3,0,0,√3,√3,0循环出现。又因为2024÷7 = 289……1,所以1 + 289×10 = 2891,则点A₂₀₂₄的坐标为(2891,-√3)。

7. (2024·山东中考)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈$1\to 4\to 2\to 1$,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系$xOy$中,将点$(x,y)中的x,y$分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中$x,y$均为正整数.例如,点$(6,3)$经过第1次运算得到点$(3,10)$,经过第2次运算得到点$(10,5)$,以此类推,则点$(1,4)$经过2024次运算后得到点____.
(2,1)

答案： 7.(2,1) 【解析】点(1,4)经过1次运算后得到点为(1×3 + 1,4÷2),即为(4,2),经过2次运算后得到点为(4÷2,2÷1),即为(2,1),经过3次运算后得到点为(2÷2,1×3 + 1),即为(1,4),…,发现规律:点(1,4)经过3次运算后还是点(1,4)。
∵2024÷3 = 674……2,
∴点(1,4)经过2024次运算后得到点(2,1)。

8. (2024·遂宁中考)在等边$\triangle ABC三边上分别取点D,E,F$,使得$AD= BE= CF$,连接三点得到$\triangle DEF$,易得$\triangle ADF\cong\triangle BED\cong\triangle CFE$,设$S_{\triangle ABC}= 1$,则$S_{\triangle DEF}= 1-3S_{\triangle ADF}$.如图①,当$\dfrac{AD}{AB}= \dfrac{1}{2}$时,$S_{\triangle DEF}= 1-3×\dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{4}$;如图②,当$\dfrac{AD}{AB}= \dfrac{1}{3}$时,$S_{\triangle DEF}= 1-3×\dfrac{2}{9}= \dfrac{1}{3}$;如图③,当$\dfrac{AD}{AB}= \dfrac{1}{4}$时,$S_{\triangle DEF}= 1-3×\dfrac{3}{16}= \dfrac{7}{16}$;…;则当$\dfrac{AD}{AB}= \dfrac{1}{10}$时,$S_{\triangle DEF}= $$\frac{73}{100}$.

答案： $\frac{8.73}{100}$ 【解析】如题图①,当AD/AB = $\frac{1}{2}$时,S△DEF = 1 - ×(2 - 1)/2² = 1 - 3×
(1)/4 = $\frac{1}{4}$;如题图②,当AD/AB = $\frac{1}{3}$时,S△DEF = 1 - 3×(3 - 1)/3² = 1 - 3×
(2)/9 = $\frac{1}{3}$;如题图③,当AD/AB = $\frac{1}{4}$时,S△DEF = 1 - 3×(4 - 1)/4² = $\frac{7}{16}$;…;当AD/AB = 1/n时,S△DEF = 1 - 3×(n - 1)/n²。故当AD/AB = $\frac{1}{10}$时,S△DEF = 1 - 3×(10 - 1)/10² = $\frac{73}{100}$。