《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

24. (8 分)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高, $ AE $ 是 $ \triangle ABD $ 的角平分线, $ F $ 为 $ AE $ 上一点, 连接 $ BF, \angle BFE= 45^{\circ} $.
(1) 求证: $ BF $ 平分 $ \angle ABE $;
(2) 连接 $ CF $ 交 $ AD $ 于点 $ G $, 若 $ S_{\triangle ABF}= S_{\triangle CBF} $, 求 $ \angle AFC $ 的度数.

答案：

(1)
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAD = 2∠BAF
∵∠BFE = 45°,
∴∠FBA + ∠BAF = 45°,
∴2∠FBA + 2∠BAF = 90°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB = 90°,
∴∠EBF + ∠FBA + 2∠BAF = 90°,
∴∠EBF = ∠FBA,
∴BF平分∠ABE.
(2)如图,过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N;
∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,
∴FM = FN,∠FBA = ∠FBC.
∵S△ABF = S△CBF,
∴AB = CB.
在△ABF和△CBF中,{AB = CB,∠ABF = ∠FBC,BF = BF,
∴△ABF≌△CFB (SAS),
∴∠AFB = ∠CFB.
∵∠BFE = 45°,
∴∠CFB = ∠AFB = 135°,
∴∠AFC = 360° - ∠AFB - ∠CFB = 90°,即∠AFC = 90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

25. (8 分)(2024·扬州校级月考)我们把能够完全重合 (即四个内角、四条边分别对应相等) 的四边形叫作全等四边形. 请借助三角形全等的知识, 解决有关四边形全等的问题. 如图, 已知四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} $ 中, $ AB= A^{\prime} B^{\prime}, BC= B^{\prime} C^{\prime}, \angle B= \angle B^{\prime}, \angle C= \angle C^{\prime} $, 现在只需补充一个条件, 就可得四边形 $ ABCD \cong $ 四边形 $ A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} $. 下列四个条件: ① $ \angle A= \angle A^{\prime} $; ② $ \angle D= \angle D^{\prime} $; ③ $ AD= A^{\prime} D^{\prime} $; ④ $ CD= C^{\prime} D^{\prime} $.
(1) 其中, 符合要求的条件是①②④; (直接写出编号)
(2) 选择(1)中的一个条件, 证明四边形 $ ABCD \cong $ 四边形 $ A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} $.
(2)答案不唯一,示例:选④,证明:连接AC,A'C',在△ABC与△A'B'C'中,{AB = A'B',∠B = ∠B',BC = B'C',
∴　△ABC≌△A'B'C'(SAS),
∴AC = A'C',∠ACB = ∠A'C'B',∠BAC = ∠B'A'C'.
∵∠BCD = ∠B'C'D',
∴∠BCD - ∠ACB = ∠B'C'D' - ∠A'C'B',
∴∠ACD = ∠A'C'D'.在△ACD和△A'C'D'中,{AC = A'C',∠ACD = ∠A'C'D',CD = C'D',
∴△ACD≌△A'C'D'(SAS),
∴∠D = ∠D',∠DAC = ∠D'A'C',DA = D'A',
∴∠BAC + ∠DAC = ∠B'A'C' + ∠D'A'C',即∠BAD = ∠B'A'D',
∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,AB = A'B',BC = B'C',AD = A'D',DC = D'C’,∠B = ∠B',∠BCD = ∠B'C'D',∠D = ∠D',∠BAD = ∠B'A'D',
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'.

答案：
(1)①②④　　[解析]若补充条件①或②,可根据已知条件及四边形内角和定理，确定两个四边形四个内角分别相等，再连接AC和A'C',利用全等三角形的判定，得两个四边形四条边也分别相等即可;若补充条件③,将四边形分割成2个三角形后，无法用现有条件证明2个三角形分别对应全等;若补充条件④,连接AC和A'C',可以利用两次“SAS”证明三角形全等,从而证明四边形全等.
(2)答案不唯一,示例:选④,证明:连接AC,A'C',在△ABC与△A'B'C'中,{AB = A'B',∠B = ∠B',BC = B'C',
∴　△ABC≌△A'B'C'(SAS),
∴AC = A'C',∠ACB = ∠A'C'B',∠BAC = ∠B'A'C'.
∵∠BCD = ∠B'C'D',
∴∠BCD - ∠ACB = ∠B'C'D' - ∠A'C'B',
∴∠ACD = ∠A'C'D'.在△ACD和△A'C'D'中,{AC = A'C',∠ACD = ∠A'C'D',CD = C'D',
∴△ACD≌△A'C'D'(SAS),
∴∠D = ∠D',∠DAC = ∠D'A'C',DA = D'A',
∴∠BAC + ∠DAC = ∠B'A'C' + ∠D'A'C',即∠BAD = ∠B'A'D',
∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,AB = A'B',BC = B'C',AD = A'D',DC = D'C’,∠B = ∠B',∠BCD = ∠B'C'D',∠D = ∠D',∠BAD = ∠B'A'D',
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'.