《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

1. (2024·河北中考)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达点P_{3}(2,2),其平移过程如下:
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q_{16}(-1,9),则点Q的坐标为 ( D )A. (6,1)或(7,1) B. (15,-7)或(8,0) C. (6,0)或(8,0) D. (5,1)或(7,1)

答案： 1.D 【解析】根据已知:点P₃(2,2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位长度得到P₄(2,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位长度得到P₅(1,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,又向上平移1个单位长度……,因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时,先向右平移1个单位长度,再按照向上、向左、向上、向左不断重复的规律平移。若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q₁₆(-1,9),则按照“和点”Q₁₆反向运动16次即可,可以分为两种情况:①Q₁₆先向右平移1个单位长度得到Q₁₅(0,9),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,应该是Q₁₅向右平移1个单位长度得到Q₁₆,故矛盾,不成立;②Q₁₆先向下平移1个单位长度得到Q₁₅(-1,8),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,则应该向上平移1个单位长度得到Q₁₆,故符合题意。
∴点Q₁₆先向下平移,再向右平移,当平移到第15次时,共计向下平移了8次,向右平移了7次,此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1)。
∴最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1)。故选D。

2. (2024·武汉中考)如图,小好同学用计算机软件绘制函数$y= x^{3}-3x^{2}+3x-1$的图象,发现它关于点$(1,0)$中心对称.若点$A_{1}(0.1,y_{1}),A_{2}(0.2,y_{2}),A_{3}(0.3,y_{3}),…,A_{19}(1.9,y_{19}),A_{20}(2,y_{20})$都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则$y_{1}+y_{2}+y_{3}+… +y_{19}+y_{20}$的值是 (D)
A.-1
B.-0.729
C.0
D.1

答案： 2.D 【解析】由题知,点A₁₀的坐标为(1,0),则y₁₀=0。
∵函数图象关于点(1,0)中心对称,
∴y₉+y₁₁=y₈+y₁₂=…=y₁+y₁₉=0将x=2代入函数表达式得,y=2³ - 3×2² + 3×2 - 1 = 1,即y₂₀=1。
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₉+y₂₀的值为1。故选D。一题多解将x=0代入函数表达式得y = -1,记此点为A₀(0,-1),则y₀ = -1。结合上述过程可知,y₀+y₂₀=y₁+y₁₉=y₂+y₁₈=…=y₉+y₁₁=0,所以y₀+y₁+y₂+…+y₂₀=0,则y₁+y₂+…+y₂₀=y₀+y₁+y₂+…+y₂₀ - y₀=0 - (-1)=1。故选D。

3. 某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计的植树方案如下:第$k棵树种植在点P_{k}(x_{k},y_{k})$处,其中$x_{1}= 1,y_{1}= 1$,当$k\geqslant 2$时,$x_{k}= x_{k-1}+1-5\left(\left[\dfrac{k-1}{5}\right]-\left[\dfrac{k-2}{5}\right]\right),y_{k}= y_{k-1}+\left[\dfrac{k-1}{5}\right]-\left[\dfrac{k-2}{5}\right],[a]表示非负实数a$的整数部分,例如$[2.6]= 2,[0.2]= 0$.按此方案,第100棵树种植点的坐标为 (D)
A.$(1,100)$
B.$(5,99)$
C.$(1,20)$
D.$(5,20)$

答案： 3.D 【解析】由题意和公式计算可得,xₖ分别为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,…,即xₖ以1~5为周期循环出现。同理可得yₖ分别为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,…,即yₖ中每5个数为一组,同一组内的5个数相同且等于组数。
∴第100棵树种植点的坐标为(5,20)。故选D。

4. 如图,直线$y= x+2与y轴相交于点A_{0}$,过点$A_{0}作x轴的平行线交直线y= 0.5x+1于点B_{1}$,过点$B_{1}作y轴的平行线交直线y= x+2于点A_{1}$,再过点$A_{1}作x轴的平行线交直线y= 0.5x+1于点B_{2}$,过点$B_{2}作y轴的平行线交直线y= x+2于点A_{2},…$,以此类推,得到直线$y= x+2上的点A_{1},A_{2},A_{3},…$,与直线$y= 0.5x+1上的点B_{1},B_{2},B_{3},…$,则$A_{7}B_{8}$的长为 (C)
A.64
B.128
C.256
D.512

答案： 4.C 【解析】对于直线y = x + 2,令x = 0,求出y = 2,即A₀(0,2)。
∵A₀B₁//x轴,
∴B₁的纵坐标为2,将y = 2代入y = 0.5x + 1中,得x = 2,即B₁(2,2),
∴A₀B₁ = 2 = 2¹。
∵A₁B₁//y轴,
∴A₁的横坐标为2,将x = 2代入y = x + 2中,得y = 4,即A₁(2,4),
∴A₁与B₂的纵坐标为4,将y = 4代入y = 0.5x + 1中,得x = 6,即B₂(6,4),
∴A₁B₂ = 4 = 2²。依次可得A₂B₃ = 8 = 2³,…,同理Aₙ₋₁Bₙ = 2ⁿ,则A₇B₈的长为2⁸ = 256。故选C。