《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

16. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ},AD $ 平分 $ \angle BAC,AB = 5,AC = 3 $,则 $ BD $ 的长是 ____2.5.

答案： 2.5

17. 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ},CA = 3,CB = 4 $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上.将 $ \triangle ACD $ 沿 $ AD $ 折叠,使点 $ C $ 落在点 $ C' $ 处,连接 $ BC' $,则 $ BC' $ 的最小值为 ____2.

答案： 2

18. 如图,已知 $ \text{Rt} \triangle ABC $,斜边为 $ AB $,以 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 的每条边为边作三个正方形,分别是正方形 $ ABMN $,正方形 $ BCPQ $,正方形 $ ACEF $,且边 $ EF $ 恰好经过点 $ N $,若 $ S_{3} = S_{4} = 6 $,则 $ S_{1} + S_{5} = $ 6.

答案： 6

19. (6 分) 新情境 唐代诗人王之涣说“欲穷千里目,更上一层楼”,下面我们利用数学知识计算,到底要登上多少层楼才能“穷千里目”.如图,圆弧代表地球剖面的一部分,圆心为 $ O,AB $ 为直立于地面的某高层建筑,$ AC $ 为站在楼顶处的视线,与地球半径 $ OB,OC $ 构成了 $ \text{Rt} \triangle AOC $.设 $ AC = 500 $ km(即 1 000 里),取地球半径为 6 400 km,楼 $ AB $ 每层高约 3.2 m.求楼 $ AB $ 至少要多少层才能“穷千里目”.(参考数据: $ \sqrt{4121} \approx 64.2 $)

答案： 在Rt△AOC中，AC=500km，OC=6400km，
∴AO=√(500²+6400²)=√41210000≈6420（km）。
∵OB=6400km，
∴AB=20km=20000m，
∴楼AB的层数为20000÷3.2=6250。答：至少要6250层才能“穷千里目”。

20. (6 分) 如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $ 于 $ D $,若 $ AD^{2} = BD \cdot DC $,求证: $ \triangle ABC $ 是直角三角形.

答案：
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，同理可得AC²=AD²+CD²，
∴AB²+AC²=AD²+BD²+AD²+CD²。又AD²=BD·DC，
∴AB²+AC²=BD²+CD²+2BD·CD=(BD+CD)²=BC²，
∴△ABC是直角三角形。