《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

10. (齐齐哈尔中考)如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a \neq 0 $)与y轴的交点在点 $ (0, 1) $,$ (0, 2) $ 之间,对称轴为直线 $ x = - 1 $,函数的最大值为4,结合图象给出下列结论：① $ b = 2a $；② $ - 3 ＜ a ＜ - 2 $；③ $ 4ac - b^{2} ＜ 0 $；④ 若关于x的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + a = m - 4 $($ a \neq 0 $)有两个不相等的实数根,则 $ m ＞ 4 $；⑤ 当 $ x ＜ 0 $ 时,y随x的增大而减小. 其中,正确的有( )B

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B 解析:
∵抛物线的对称轴为直线x=-b/(2a)=-1，
∴b=2a。故①正确。
∵抛物线经过点(-1,4)，
∴a-b+c=-a+c=4。
∴a=c-4。
∵抛物线与y轴的交点在点(0,1)，(0,2)之间，
∴1＜c＜2。
∴-3＜a＜-2。故②正确。
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，即4ac-b²＜0。故③正确。
∵a=c-4，
∴ax²+bx+a=m-4可整理为ax²+bx+c=m。
∵抛物线开口向下，顶点的坐标为(-1,4)，
∴当m＜4时，抛物线与直线y=m有两个不同的交点。故④错误。由图象，可得当x＜-1时，y随x的增大而增大，故⑤错误。综上所述，正确的有3个。

11. 请你设计一个与y轴交于点 $ (0, 1) $,且当 $ x ＜ 0 $ 时,y随x的增大而减小的抛物线对应的函数表达式：$y = x^2 + 1$.

答案： 解：设抛物线的函数表达式为 $ y = ax^2 + bx + c $。
因为抛物线与y轴交于点$(0,1)$，所以当$x=0$时，$y=1$，代入表达式可得$c = 1$。
抛物线的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，当$x ＜ 0$时，y随x的增大而减小，说明抛物线开口向上，即$a ＞ 0$，且对称轴在y轴或y轴右侧，即$-\frac{b}{2a} \geq 0$。
取$a = 1$，$b = 0$，则函数表达式为$y = x^2 + 1$。
答案：$y = x^2 + 1$

12. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^{2} + 3 $ 与y轴交于点A,过点A作与x轴平行的直线交抛物线 $ y = x^{2} $ 于点B,C,则BC的长为$ 2\sqrt{3} $.

答案： 解：对于抛物线 $ y = ax^2 + 3 $，令 $ x = 0 $，得 $ y = 3 $，所以点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 3) $。
因为直线 $ BC $ 过点 $ A $ 且与 $ x $ 轴平行，所以直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = 3 $。
联立 $ \begin{cases} y = 3 \\ y = x^2 \end{cases} $，得 $ x^2 = 3 $，解得 $ x = \sqrt{3} $ 或 $ x = -\sqrt{3} $。
所以点 $ B $ 的坐标为 $ (-\sqrt{3}, 3) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 3) $。
则 $ BC = \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} $。
答案：$ 2\sqrt{3} $

13. 若点 $ P(a, b) $ 在抛物线 $ y = - 2x^{2} + 2x + 1 $ 上,则 $ a - b $ 的最小值为______$-\frac{9}{8}$.

答案： 解：因为点$P(a,b)$在抛物线$y = -2x^{2} + 2x + 1$上，所以$b=-2a^{2}+2a + 1$。
则$a - b=a-(-2a^{2}+2a + 1)=2a^{2}-a - 1$。
对于二次函数$y=2a^{2}-a - 1$，其中$A=2$，$B=-1$，$C=-1$。
因为$A=2＞0$，所以函数有最小值，当$a=-\frac{B}{2A}=-\frac{-1}{2×2}=\frac{1}{4}$时，
$a - b$的最小值为$2×(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{4}-1=2×\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-1=\frac{1}{8}-\frac{2}{8}-\frac{8}{8}=-\frac{9}{8}$。
$-\frac{9}{8}$

14. 如果将抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 1 $ 向上平移,使它经过点 $ A(0, 3) $,那么所得的新抛物线对应的函数表达式为______$y = x^{2} + 2x + 3$.

答案： 解：设平移后的抛物线表达式为$y = x^{2} + 2x - 1 + k$（$k＞0$）。
因为新抛物线经过点$A(0, 3)$，将$x=0$，$y=3$代入表达式得：
$3 = 0^{2} + 2×0 - 1 + k$
$3 = -1 + k$
解得$k = 4$
所以新抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2} + 2x - 1 + 4 = x^{2} + 2x + 3$
答案：$y = x^{2} + 2x + 3$

15. 已知二次函数 $ y = - (x - 2)^{2} + c $,当 $ x = x_{1} $ 时,函数值为 $ y_{1} $；当 $ x = x_{2} $ 时,函数值为 $ y_{2} $. 若 $ |x_{1} - 2| ＞ |x_{2} - 2| $,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $ 的大小关系是______(用“＜”连接).
y₁＜y₂

答案： 解：
∵二次函数$y=-(x - 2)^2 + c$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
∵$|x_{1} - 2|＞|x_{2} - 2|$，
∴点$(x_{1}, y_{1})$到对称轴的距离大于点$(x_{2}, y_{2})$到对称轴的距离，
又
∵抛物线开口向下，
∴$y_{1}＜y_{2}$。
$y_{1}＜y_{2}$

16. 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点. 若四边形EFGH是矩形,且其周长是20,则四边形ABCD的面积最大是______.

答案：
解：连结AC，BD交于点O。
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，
∴根据三角形中位线性质，得2EF=AC，2EH=BD，EF//AC//HG，EH//BD//GF。
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF⊥EH，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$BD·AC。
设EH=x，则BD=2x，
∵四边形EFGH周长为20，
∴EF=10-x，AC=2(10-x)，
∴面积S=$\frac{1}{2}×2x×2(10-x)=-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$。
∵-2＜0，0＜x＜10，
∴当x=5时，S最大=50。
50

17. (10分)已知抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + c $ 与x轴有两个不同的交点.
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + c $ 经过点 $ A(2, m) $ 和 $ B(3, n) $,试比较m与n的大小,并说明理由.

答案：
(1)解：
∵抛物线$y = 2x^{2}-4x + c$与$x$轴有两个不同的交点，
∴方程$2x^{2}-4x + c = 0$的判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(-4)^{2}-4×2c = 16 - 8c$，
∴$16-8c＞0$，解得$c＜2$。
(2)$m ＜ n$。理由：抛物线$y = 2x^{2}-4x + c$的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×2}=1$。
∵$2＞0$，
∴抛物线开口向上，当$x\geq1$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(2,m)$和$B(3,n)$都在对称轴$x = 1$的右侧，且$2＜3$，
∴$m ＜ n$。

18. (12分)(营口中考)某商家正在销售一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现,随着售价的增加,销售量在减少. 当售价为60元/件时,商家决定改变销售策略,此时售价每增加1元/件,需支付由此产生的额外费用为150元. 该商品的销售量 $ y(件) $ 与售价 $ x(元/件) $ 满足如图所示的函数关系(其中 $ 40 \leq x \leq 70 $,且x为整数).
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当售价为多少时,该商家获得的利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)当$40 \leq x \leq 60$时，设$y = kx + b(k \neq 0)$。把$(40, 300)$，$(60, 100)$代入，得$\begin{cases}300 = 40k + b \\ 100 = 60k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -10 \\ b = 700\end{cases}$，$\therefore y = -10x + 700$。
当$60 ＜ x \leq 70$时，设$y = mx + n(m \neq 0)$。把$(60, 100)$，$(70, 150)$代入，得$\begin{cases}100 = 60m + n \\ 150 = 70m + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 5 \\ n = -200\end{cases}$，$\therefore y = 5x - 200$。
综上所述，$y$关于$x$的函数表达式为$y = \begin{cases}-10x + 700(40 \leq x \leq 60) \\ 5x - 200(60 ＜ x \leq 70)\end{cases}$。
(2)设商家获得的利润为$w$元。
当$40 \leq x \leq 60$时，$w = (x - 30)(-10x + 700) = -10(x - 50)^2 + 4000$。
$\because -10 ＜ 0$，$\therefore$当$x = 50$时，$w$取到最大值$4000$。
当$60 ＜ x \leq 70$时，$w = (x - 30)(5x - 200) - 150(x - 60) = 5(x - 50)^2 + 2500$。
$\because 5 ＞ 0$，$\therefore$当$60 ＜ x \leq 70$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\therefore$当$x = 70$时，$w$取到最大值，此时$w = 5×(70 - 50)^2 + 2500 = 4500$。
$\because 4000 ＜ 4500$，$\therefore$当售价为$70$元/件时，该商家获得的利润最大，最大利润是$4500$元。