《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

我们可以利用解方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 求二次函数 $y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$ 的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标. 反过来, 也可以利用二次函数 $y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$ 的图象求一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的解.

答案： 横轴 平行于横轴 解

典例 1 人们研究发现, 当火箭竖直向上发射时,它的高度 $h(\mathrm{m})$ 与时间 $t(\mathrm{s})$ 之间的关系可以用公式 $h= -5t^{2}+v_{0}t + h_{0}$ 表示. 其中 $h_{0}(\mathrm{m})$ 是发射时的高度, $v_{0}(\mathrm{m}/\mathrm{s})$ 是发射时的速度. 如果 $v_{0}= 150$, $h_{0}= 10$, 没有第二次点燃燃料, 那么经过多长时间, 火箭到达它的最高点? 最高点的高度是多少? 经过多长时间, 火箭到达的高度为 $1000\mathrm{m}$?
点拨 要求经过多长时间, 火箭达到它的最高点, 即求二次函数的最值问题, 可以用公式法或配方法求出, 把 $h = 1000$ 代入函数表达式, 解方程即可求出经过多长时间, 火箭到达的高度为 $1000\mathrm{m}$.
解答
解有所悟 此题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数与一元二次方程的关系, 正确理解题意是解决问题的关键.

答案： 解：已知火箭高度公式为$h = -5t^{2} + v_{0}t + h_{0}$，其中$v_{0}=150$，$h_{0}=10$，则函数表达式为$h=-5t^{2}+150t + 10$。
将其配方可得：
$\begin{aligned}h&=-5(t^{2}-30t)+10\\&=-5(t^{2}-30t + 225 - 225)+10\\&=-5[(t - 15)^{2}-225]+10\\&=-5(t - 15)^{2}+1125 + 10\\&=-5(t - 15)^{2}+1135\end{aligned}$
因为二次项系数$-5\lt0$，所以该函数图象开口向下，当$t = 15$时，$h$取得最大值，最大值为$1135$。即经过$15\mathrm{s}$，火箭到达最高点，最高点高度是$1135\mathrm{m}$。
令$h = 1000$，则：
$1000=-5(t - 15)^{2}+1135$
$-5(t - 15)^{2}=1000 - 1135$
$-5(t - 15)^{2}=-135$
$(t - 15)^{2}=27$
$t - 15=\pm3\sqrt{3}$
解得$t_{1}=15 + 3\sqrt{3}$，$t_{2}=15 - 3\sqrt{3}$。
因为火箭到达最高点后会下落，$t_{1}=15 + 3\sqrt{3}$是下落过程中高度再次达到$1000\mathrm{m}$的时间，题目问的是到达高度为$1000\mathrm{m}$的时间，所以取上升过程中的时间$t_{2}=15 - 3\sqrt{3}$。
综上：经过$15\mathrm{s}$，火箭到达最高点，最高点高度是$1135\mathrm{m}$；经过$(15 - 3\sqrt{3})\mathrm{s}$，火箭到达的高度为$1000\mathrm{m}$。

典例 2 用图象法求一元二次方程 $x^{2}+2x - 9 = 0$ 的根的近似值(精确到 $0.1$).
点拨 由一元二次方程 $x^{2}+2x - 9 = 0$ 的根即为函数 $y = x^{2}+2x - 9$ 的图象与 $x$ 轴的交点的横坐标, 可通过画函数 $y = x^{2}+2x - 9$ 的图象来求解, 具体步骤如下: 先画出抛物线 $y = x^{2}+2x - 9$, 然后观察图象, 确定函数图象与 $x$ 轴的交点的位置, 看交点的横坐标介于哪两个整数之间, 初步估值, 在此基础上, 借助计算器缩小范围, 运用“夹逼法”进行取值计算, 直到符合题目精确度的要求, 能得出 $y$ 的值最接近 $0$ 时对应的 $x$ 的值, 这个值就是一元二次方程 $x^{2}+2x - 9 = 0$ 的根的近似值.
解答
解有所悟 利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值时, 当 $x$ 从 $x_{1}$ 取到 $x_{2}$ 对应的 $y$ 值出现 $y_{1}\lt0$, $y_{2}\gt0$ (或 $y_{1}\gt0$, $y_{2}\lt0$) 时, 方程的根的近似值为 $|y_{1}|$ 与 $|y_{2}|$ 中较小的那个值对应的 $x$ 的值.

答案：
设 $y=x^{2}+2 x-9$, 画出二次函数 $y=x^{2}+2 x-9$ 的图象如图所示. 根据图象, 知一元二次方程 $x^{2}+2 x-9=0$ 有两个不相等的实数根, 一个根在 -5 与 -4 之间, 另一个根在 2 与 3 之间. 先求在 -5 与 -4 之间的近似根, 利用计算器进行探索, 列表如下:

由表, 可知这个根介于 -4.1 与 -4.2 之间. $\because|-0.39|＞|0.24|, \therefore$ 方程 $x^{2}+2 x-9=0$ 的较小根的近似值为 -4.2. 同理, 可得另一个较大根的近似值为 2.2. $\therefore$ 方程 $x^{2}+2 x-9=0$ 的根的近似值为 $x_{1} \approx-4.2, x_{2} \approx 2.2$.