《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

6. (宿迁中考)若某等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是 (D)
A.8 cm
B.13 cm
C.8 cm或13 cm
D.11 cm或13 cm

答案： 解：
情况一：腰长为3cm，底边长为5cm。
3+3＞5，能构成三角形。
周长=3+3+5=11cm。
情况二：腰长为5cm，底边长为3cm。
5+5＞3，能构成三角形。
周长=5+5+3=13cm。
综上，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm。
答案：D

7. 如图,在平面直角坐标系中,存在点$A(3,2),B(1,0)$,以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上,则这样的点P共有 (D)
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

答案： 解：已知点$A(3,2)$，$B(1,0)$，则$AB=\sqrt{(3 - 1)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
情况1：以$AB$为腰，$A$为顶点
- 设$P(x,0)$在$x$轴上：$(x - 3)^2+(0 - 2)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$x=3\pm2$，即$P_1(5,0)$，$P_2(1,0)$（与$B$重合，舍）。
- 设$P(0,y)$在$y$轴上：$(0 - 3)^2+(y - 2)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$y=2\pm\sqrt{-1}$（无实根）。
情况2：以$AB$为腰，$B$为顶点
- 设$P(x,0)$在$x$轴上：$(x - 1)^2+(0 - 0)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$x=1\pm2\sqrt{2}$，即$P_3(1 + 2\sqrt{2},0)$，$P_4(1 - 2\sqrt{2},0)$。
- 设$P(0,y)$在$y$轴上：$(0 - 1)^2+(y - 0)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$y=\pm\sqrt{7}$，即$P_5(0,\sqrt{7})$，$P_6(0,-\sqrt{7})$。
情况3：以$AB$为底边
- 设$P(x,0)$在$x$轴上：$PA=PB$，$(x - 3)^2+2^2=(x - 1)^2+0^2$，解得$x=3$，即$P_7(3,0)$。
- 设$P(0,y)$在$y$轴上：$PA=PB$，$3^2+(y - 2)^2=1^2+y^2$，解得$y=3$，即$P_8(0,3)$。
综上，符合条件的点$P$有$P_1(5,0)$，$P_3(1 + 2\sqrt{2},0)$，$P_4(1 - 2\sqrt{2},0)$，$P_5(0,\sqrt{7})$，$P_6(0,-\sqrt{7})$，$P_7(3,0)$，$P_8(0,3)$，共7个。
答案：D

8. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 4,AD= 6$,E是线段AD上的一个动点,P是点A关于直线BE的对称点,连结BP,CP.在点E运动的过程中,使$△PBC$为等腰三角形的点E有 (B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

答案： 解：在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，B(0,0)，C(6,0)，A(0,4)，设E(0,t)(0≤t≤6)。
直线BE：y=kx，过E(0,t)，得k=t/0（此处应为E在AD上，坐标设为(t,4)，0≤t≤6，直线BE：y=(4/t)x）。
点A(0,4)关于BE对称点P(x,y)，根据对称性质得P轨迹为以B为圆心，BA=4为半径的圆（除A点）。
△PBC为等腰三角形分三种情况：
1. PB=PC：PB=4，PC=4，C(6,0)，BC=6，4+4＞6，存在两点P，对应E两点；
2. BP=BC：BP=4，BC=6，4≠6，无解；
3. CP=CB：CP=6，B(0,0)，P在圆x²+y²=16上，(x-6)²+y²=36，联立得x=2/3，y=±(8√2)/3，两点均在圆上，但对称点P需满足E在线段AD上，经检验只有1点符合。
综上，符合条件的E有2个。
答案：B

9. 在等腰三角形ABC中,$AB= AC$,D是边BC上一点,连结AD.若$△ACD和△ABD$都是等腰三角形,求$∠C$的度数.

答案：
分情况讨论:①如图①，$AD=BD$，$DC=AD$，则易得$\triangle ADB$和$\triangle ADC$是全等三角形。
∴$\angle ADB=\angle ADC=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
∴易得$\angle C=45^{\circ}$。②如图②，$AB=BD$，$CD=AD$，则$\angle B=\angle C=\angle DAC$，$\angle BAD=\angle BDA=2\angle C$。
∵$\angle B+\angle C+\angle BAC=180^{\circ}$，
∴$5\angle C=180^{\circ}$。
∴$\angle C=36^{\circ}$。综上所述，$\angle C$的度数是$45^{\circ}$或$36^{\circ}$。

10. 已知关于x的方程$x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0$.
(1) 求证:无论k取何值,方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形ABC的一边长a为6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此等腰三角形的周长.

答案：
(1)证明：
∵方程$x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k=0$的判别式$\Delta =[-(3k+1)]^{2}-4(2k^{2}+2k)=9k^{2}+6k+1-8k^{2}-8k=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}\geq0$，
∴无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2)解：分情况讨论：
①若$a=6$为底边长，则$b=c$，此时$\Delta=(k-1)^{2}=0$，解得$k=1$。原方程为$x^{2}-4x+4=0$，解得$x_{1}=x_{2}=2$，即$b=c=2$。
∵$2+2=4\lt6$，
∴三边长6，2，2不能构成三角形，舍去。
②若$b$，$c$中一个为腰长，不妨设$b=6$，将$x=6$代入方程得$6^{2}-6(3k+1)+2k^{2}+2k=0$，即$2k^{2}-16k+30=0$，解得$k_{1}=3$，$k_{2}=5$。
当$k=3$时，原方程为$x^{2}-10x+24=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=6$，此时三边长为6，6，4，周长为$6+6+4=16$。
当$k=5$时，原方程为$x^{2}-16x+60=0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=10$，此时三边长为6，6，10，周长为$6+6+10=22$。
综上所述，此等腰三角形的周长为16或22。

11. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 100^{\circ }$,点D在边BC上,$△ABD,△AFD$关于AD所在的直线对称,$∠FAC$的平分线交边BC于点G,连结FG.
(1) 求$∠DFG$的度数;
(2) 设$∠BAD= θ$,当θ为何值时,$△DFG$为等腰三角形?

答案：
(1)
∵$AB=AC$，$\angle BAC=100^\circ$，
∴$\angle B=\angle C=40^\circ$。
∵$\triangle ABD$与$\triangle AFD$关于$AD$对称，
∴$\triangle ABD\cong\triangle AFD$，
∴$\angle AFD=\angle B=40^\circ$，$AF=AB$，
∴$AF=AC$。
∵$AG$平分$\angle FAC$，
∴$\angle FAG=\angle CAG$。
在$\triangle AGF$和$\triangle AGC$中，
$\begin{cases}AF=AC\\\angle FAG=\angle CAG\\AG=AG\end{cases}$，
∴$\triangle AGF\cong\triangle AGC(SAS)$，
∴$\angle AFG=\angle C=40^\circ$，
∴$\angle DFG=\angle AFD+\angle AFG=40^\circ+40^\circ=80^\circ$。
(2)
由
(1)知$\angle AFD=40^\circ$，$\angle FAD=\angle BAD=\theta$，$\angle ADG=\angle B+\angle BAD=40^\circ+\theta$。分三种情况：
①当$GD=GF$时，$\angle GDF=\angle GFD=80^\circ$。
在$\triangle ADF$中，$\angle AFD+\angle GDF+\angle ADG+\angle DAF=180^\circ$，
即$40^\circ+80^\circ+(40^\circ+\theta)+\theta=180^\circ$，
解得$\theta=10^\circ$。
②当$DF=GF$时，$\angle FDG=\angle FGD=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$。
在$\triangle ADF$中，$40^\circ+50^\circ+(40^\circ+\theta)+\theta=180^\circ$，
解得$\theta=25^\circ$。
③当$DF=DG$时，$\angle DGF=\angle DFG=80^\circ$，$\angle GDF=180^\circ-80^\circ×2=20^\circ$。
在$\triangle ADF$中，$40^\circ+20^\circ+(40^\circ+\theta)+\theta=180^\circ$，
解得$\theta=40^\circ$。
综上，$\theta=10^\circ$或$25^\circ$或$40^\circ$。