《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 若已知等腰三角形的一个外角是$150^{\circ }$,则其顶角是 (C)
A.$30^{\circ }$
B.$75^{\circ }或120^{\circ }$
C.$30^{\circ }或120^{\circ }$
D.$75^{\circ }$

答案： 解：
情况一：若外角是顶角的外角，则顶角为$180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$；
情况二：若外角是底角的外角，则底角为$180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$，顶角为$180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$。
综上，顶角是$30^{\circ}$或$120^{\circ}$。
答案：C

2. 若某等腰三角形的一个角α比另一个角β的2倍少$20^{\circ }$,则这个等腰三角形的顶角的度数是 (A)
A.$44^{\circ }或80^{\circ }或140^{\circ }$
B.$20^{\circ }或80^{\circ }$
C.$44^{\circ }或80^{\circ }$
D.$140^{\circ }$

答案： 2.A　解析:设$\beta=x$，则$\alpha=2x-20^{\circ}$。分情况讨论:①当β是顶角，α是底角时，$x+2(2x-20^{\circ})=180^{\circ}$，解得$x=44^{\circ}$。
∴顶角的度数是$44^{\circ}$。②当β是底角，α是顶角时，$2x+2x-20^{\circ}=180^{\circ}$，解得$x=50^{\circ}$。
∴顶角的度数是$2×50^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$。③当β与α都是底角时，$x=2x-20^{\circ}$，解得$x=20^{\circ}$。
∴顶角的度数是$180^{\circ}-20^{\circ}×2=140^{\circ}$。综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是$44^{\circ}$或$80^{\circ}$或$140^{\circ}$。

3. 在等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分为15 cm和12 cm两部分,求这个等腰三角形的各边的长.

答案： 解：设腰长为$x$cm，底边长为$y$cm。
分两种情况讨论：
①若$x + \frac{1}{2}x = 12$，则$y + \frac{1}{2}x = 15$。
由$x + \frac{1}{2}x = 12$，得$\frac{3}{2}x = 12$，解得$x = 8$。
把$x = 8$代入$y + \frac{1}{2}x = 15$，得$y + 4 = 15$，解得$y = 11$。
∵$8 + 8＞11$，
∴三边长为8cm，8cm，11cm能构成三角形。
②若$x + \frac{1}{2}x = 15$，则$y + \frac{1}{2}x = 12$。
由$x + \frac{1}{2}x = 15$，得$\frac{3}{2}x = 15$，解得$x = 10$。
把$x = 10$代入$y + \frac{1}{2}x = 12$，得$y + 5 = 12$，解得$y = 7$。
∵$10 + 7＞10$，
∴三边长为7cm，10cm，10cm能构成三角形。
综上所述，这个等腰三角形的各边的长分别为8cm，8cm，11cm或7cm，10cm，10cm。

4. 等腰三角形一腰上的高线与另一边的夹角的度数为$25^{\circ }$,求这个等腰三角形的各个内角的度数.

答案：
设等腰三角形ABC中，$AB=AC$，$BD\perp AC$于点D。①如图①，当高线在$\triangle ABC$的内部，且与底边的夹角的度数为$25^{\circ}$时，$\angle DBC=25^{\circ}$，
∴$\angle C=90^{\circ}-\angle DBC=65^{\circ}$。又
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABC=\angle C=65^{\circ}$。
∴$\angle A=180^{\circ}-2×65^{\circ}=50^{\circ}$。②如图②，当高线在$\triangle ABC$的内部，且与另一腰的夹角的度数为$25^{\circ}$时，$\angle ABD=25^{\circ}$，
∴$\angle A=90^{\circ}-\angle ABD=65^{\circ}$。又
∵$AB=AC$，
∴$\angle C=\angle ABC=(180^{\circ}-\angle A)÷2=57.5^{\circ}$。③如图③，当高线在$\triangle ABC$的外部时，$\angle BAC$是钝角，$\angle ABD=25^{\circ}$，
∴$\angle BAD=90^{\circ}-\angle ABD=65^{\circ}$。
∴$\angle BAC=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$。又
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABC=\angle C=(180^{\circ}-115^{\circ})÷2=32.5^{\circ}$。综上所述，这个等腰三角形的各个内角的度数分别为$65^{\circ}$，$65^{\circ}$，$50^{\circ}$或$65^{\circ}$，$57.5^{\circ}$，$57.5^{\circ}$或$115^{\circ}$，$32.5^{\circ}$，$32.5^{\circ}$。

5. 在$△ABC$中,$AB= AC$,边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度数为$40^{\circ }$,求$∠B$的度数.

答案：
分两种情况讨论:①如图①，边AB的垂直平分线与AB，AC交于点E，D，$\angle ADE=40^{\circ}$，则易得$\angle A=50^{\circ}$。
∵$AB=AC$，
∴$\angle B=(180^{\circ}-50^{\circ})÷2=65^{\circ}$。②如图②，边AB的垂直平分线与AB，CA的延长线交于点E，D，$\angle ADE=40^{\circ}$，则易得$\angle DAE=50^{\circ}$。
∴$\angle BAC=130^{\circ}$。
∵$AB=AC$，
∴$\angle B=(180^{\circ}-130^{\circ})÷2=25^{\circ}$。综上所述，$\angle B$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$。