《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

6. 如图, 在平面直角坐标系中, 菱形 $ ABCD $ 的顶点 $ C $ 的坐标为 $ (-1, 0) $, 点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 2) $, $ AC \perp x $ 轴, 点 $ A $ 在第二象限. 直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 5 $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ N $, $ M $. 将菱形 $ ABCD $ 沿 $ x $ 轴向右平移 $ m $ 个单位, 当点 $ D $ 落在 $ \triangle MON $ 的内部 (不包括三角形的边) 时, $ m $ 的值可能是 ( C )
A.1
B.2
C.4
D.8

答案： C　解析:
∵菱形ABCD的顶点C的坐标为(−1,0),点B的坐标为(0,2),AC⊥x轴,
∴易得点D的坐标为(−2,2).
∴菱形ABCD沿x轴向右平移2个单位时，点D在OM上.在y=−$\frac{1}{2}$x+5中,令y=2,则−$\frac{1}{2}$x+5=2,解得x=6.
∴菱形ABCD沿x轴向右平移2+6=8(个)单位时，点D在MN上.
∵点D落在△MON的内部(不包括三角形的边),
∴2＜m＜8.
∴m的值可能是4.

7. 正方形 $ A_1B_1C_1O $, $ A_2B_2C_2C_1 $, $ A_3B_3C_3C_2 $, … 按如图所示的方式放置, 点 $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, … 和点 $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $, … 分别在直线 $ y = kx + b(k ＞ 0) $ 和 $ x $ 轴上. 已知点 $ B_1(1, 1) $, $ B_2(3, 2) $, 则点 $ B_n $ 的坐标为 ( A )

A.$ (2^n - 1, 2^{n - 1}) $
B.$ (2^{n - 1} + 1, 2^{n - 1}) $
C.$ (2n - 1, 2n - 1) $
D.$ (2n - 1, n) $

答案： A　解析:
∵点B₁的坐标为(1,1),点B₂的坐标为(3,2),
∴正方形A₁B₁C₁O的边长为1,正方形A₂B₂C₂C₁的边长为2.
∴点A₁的坐标为(0,1),点A₂的坐标为(1,2).把(0,1),(1,2)代入y=kx+b(k＞0),得$\begin{cases}b = 1\\k + b = 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 1\\b = 1\end{cases}$.
∴直线A₁A₂对应的函数表达式为y=x+1.
∵点B₂的坐标为(3,2),
∴点A₃的坐标为(3,4).
∴易得点B₃的坐标为(7,4).依此规律，点Bₙ的横坐标为2ⁿ−1,纵坐标为2ⁿ⁻¹.
∴点Bₙ的坐标为(2ⁿ−1,2ⁿ⁻¹).

8. 如图, 四边形 $ ABCD $ 是正方形, 点 $ B $, $ C $ 分别在正比例函数 $ y = 2x $ 和 $ y = kx $ 的图象上, $ A $, $ D $ 是 $ x $ 轴上的两点.
(1) 若此正方形的边长为 2, 则 $ k $ 的值为$\frac{2}{3}$.
(2) 若此正方形的边长为 $ a $, 则 $ k $ 的值是否会发生变化? 若不会发生变化, 请说明理由; 若会发生变化, 请求出 $ k $ 的值.
k的值不会发生变化。
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AB=CD=AD=a，点B的纵坐标为a。
在$y=2x$中，令$y=a$，得$x=\frac{a}{2}$，
∴$B(\frac{a}{2},a)$，则$OA=\frac{a}{2}$。
∴$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$，
∴点C的坐标为$(\frac{3}{2}a,a)$。
将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y=kx$，得$a=k\cdot\frac{3}{2}a$，
解得$k=\frac{2}{3}$。
∴k的值不会发生变化。

答案：
(1)$\frac{2}{3}$
(2)k的值不会发生变化。
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AB=CD=AD=a，点B的纵坐标为a。
在$y=2x$中，令$y=a$，得$x=\frac{a}{2}$，
∴$B(\frac{a}{2},a)$，则$OA=\frac{a}{2}$。
∴$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$，
∴点C的坐标为$(\frac{3}{2}a,a)$。
将$C(\frac{3}{2}a,a)$代入$y=kx$，得$a=k\cdot\frac{3}{2}a$，
解得$k=\frac{2}{3}$。
∴k的值不会发生变化。

9. (怀化中考) 如图, 直线 $ AB $ 交 $ x $ 轴于点 $ C $, 交反比例函数 $ y = \frac{a - 1}{x}(a ＞ 1) $ 的图象于 $ A $, $ B $ 两点, 过点 $ B $ 作 $ BD \perp y $ 轴, 垂足为 $ D $, 连结 $ CD $. 若 $ S_{\triangle BCD} = 5 $, 则 $ a $ 的值为 ( D )

A.8
B.9
C.10
D.11

答案： 解：设点$ B $的坐标为$(m,n)$，$ C $点坐标为$(c,0)$。
因为点$ B $在反比例函数$ y = \frac{a - 1}{x} $的图象上，所以$ n=\frac{a - 1}{m} $，即$ mn=a - 1 $。
因为$ BD \perp y $轴，所以$ D $点坐标为$(0,n)$，$ BD = |m| $。
$ OC = |c| $，$ \triangle BCD $的高为$ n $。
$ S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2} × BD × |c| = 5 $，即$ \frac{1}{2} × |m| × |c| = 5 $，$ |mc| = 10 $。
设直线$ AB $的解析式为$ y = kx + b $，因为点$ C(c,0) $、$ B(m,n) $在直线上，所以$ 0 = kc + b $，$ n = km + b $，两式相减得$ n = k(m - c) $，$ k=\frac{n}{m - c} $。
又因为直线$ AB $与反比例函数交于$ A $、$ B $两点，联立方程$ kx + b=\frac{a - 1}{x} $，即$ kx^2 + bx - (a - 1)=0 $，由韦达定理得$ x_A × m=-\frac{a - 1}{k} $。
而$ b=-kc $，所以$ kx^2 - kcx - (a - 1)=0 $，$ x_A + m = c $，$ x_A = c - m $。
$ x_A × m=(c - m)m = cm - m^2=-\frac{a - 1}{k} $，$ k=-\frac{a - 1}{(c - m)m}=\frac{a - 1}{m(m - c)} $。
又因为$ k=\frac{n}{m - c}=\frac{a - 1}{m(m - c)} $，所以$ |mc| = a - 1 $。
因为$ |mc| = 10 $，所以$ a - 1 = 10 $，$ a = 11 $。
答案：D

10. (烟台中考) 如图, $ A $, $ B $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上的两点, 连结 $ OA $, $ OB $. 过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $, 交 $ OB $ 于点 $ D $. 若 $ D $ 为 $ AC $ 的中点, $ \triangle AOD $ 的面积为 3, 点 $ B $ 的坐标为 $ (m, 2) $, 则 $ m $ 的值为____6.

答案： 解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，则$OC = a$，$AC=\frac{k}{a}$。
因为$D$为$AC$的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{k}{2a}$。
$\triangle AOD$的面积为$\frac{1}{2}× OC× AD = 3$，即$\frac{1}{2}× a×\frac{k}{2a}=3$，解得$k = 12$。
点$B(m,2)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$上，所以$2=\frac{12}{m}$，解得$m = 6$。
6

11. 如图, 点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上, 点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上, $ OB = 6 $. 连结 $ OA $, $ AB $, 且 $ OA = AB $. 过点 $ B $ 作 $ BC \perp OB $, 交反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点 $ C $, 连结 $ OC $ 交 $ AB $ 于点 $ D $. 若 $ S_{\triangle OBC} = 6 $, 则 $ AB $ 的长为____.

答案：
5　解析:如图,过点A作AH⊥x轴于点H,则$S_{△AOH}$=$\frac{1}{2}$|k|.
∵BC⊥x轴,
∴$S_{△OBC}$=$\frac{1}{2}$|k|=6.
∴$S_{△AOH}$=$\frac{1}{2}$AH·OH=6.
∵OA=AB,AH⊥OB,OB=6,
∴OH=HB=3.
∴$\frac{1}{2}$AH·3=6.
∴AH=4.
∴AB=$\sqrt{AH^{2}+HB^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5.