《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

18. (10分)如图①,平面内有一点$P到\triangle ABC的三个顶点的距离分别为PA$,$PB$,$PC$的长。若满足$PA^{2}= PB^{2}+PC^{2}$,则称$P为\triangle ABC关于点A$的“勾股点”。如图②,$E是矩形ABCD$内一点,且$C是\triangle ABE关于点A$的“勾股点”,连结$DE$。
(1)求证：$CE= CD$；
(2)若$AB= 5$,$BC= 6$,$DA= DE$,求$AE$的长。

答案：

(1)
∵C是△ABE关于点A的“勾股点”,
∴$CA^{2}=CB^{2}+CE^{2}$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC = 90°,AB = CD.
∴$CA^{2}=CB^{2}+AB^{2}=CB^{2}+CD^{2}$.
∴CE = CD.
(2)如图,作△ECD的高线CF,EG和△AED的高线EH.由题意,得CE = CD = AB = 5,DA = DE = BC = 6.
∵CE = CD,CF⊥DE,
∴$EF = DF=\frac {1}{2}DE = 3$.在Rt△CEF中,由勾股定理,得$CF=\sqrt {5^{2}-3^{2}} = 4$.
∵$S_{△ECD}=\frac {1}{2}DE\cdot CF=\frac {1}{2}CD\cdot EG$,
∴$EG=\frac {DE\cdot CF}{CD}=\frac {6×4}{5}=\frac {24}{5}$.
∵易得∠EGD = ∠HDG = ∠DHE = 90°,
∴四边形HEGD是矩形.
∴$DH = EG=\frac {24}{5}$.
∴$AH = 6-\frac {24}{5}=\frac {6}{5}$.在Rt△AHE中,由勾股定理,得$EH^{2}=AE^{2}-AH^{2}$;在Rt△DHE中,由勾股定理,得$EH^{2}=DE^{2}-DH^{2}$,
∴$AE^{2}-AH^{2}=DE^{2}-DH^{2}$,即$AE^{2}-(\frac {6}{5})^{2}=6^{2}-(\frac {24}{5})^{2}$.
∴$AE=\frac {6\sqrt {10}}{5}$.
　　　　　　

19. (10分)(内江中考)某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动。在此次活动中,若每名老师带30名学生,则还剩7名学生没老师带；若每名老师带31名学生,就有1名老师少带1名学生。现有甲、乙两种型号的客车,它们的载客量和租金如下表：
|客车|甲型|乙型|
|载客量(人/辆)|35|30|
|租金(元/辆)|400|320|
该中学计划此次劳动实践活动的租车总费用不超过3000元。
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)若每名老师负责1辆车的组织工作,问：有哪几种租车方案？
(3)该中学的租车总费用最少是多少元？

答案：
(1)设参加此次劳动实践活动的老师有$x$名，则学生有$(30x + 7)$名。根据题意，得$30x + 7 = 31x - 1$，解得$x = 8$。$\therefore 30x + 7 = 30×8 + 7 = 247$。答：参加此次劳动实践活动的老师有8名，学生有247名。
(2)由题意，共租8辆客车。设租甲型客车$m$辆，则租乙型客车$(8 - m)$辆。根据题意，得$\begin{cases}35m + 30(8 - m)\geq247 + 8\\400m + 320(8 - m)\leq3000\end{cases}$，解得$3\leq m\leq5.5$。$\because m$为整数，$\therefore m = 3,4,5$。租车方案有：①租甲型客车3辆，乙型客车5辆；②租甲型客车4辆，乙型客车4辆；③租甲型客车5辆，乙型客车3辆。
(3)设租甲型客车$n$辆，租车总费用为$w$元，则$w = 400n + 320(8 - n)=80n + 2560$。$\because 80＞0$，$\therefore w$随$n$的增大而增大。由
(2)知$3\leq n\leq5.5$，当$n = 3$时，$w$最小，$w = 80×3 + 2560 = 2800$。答：该中学的租车总费用最少是2800元。