《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 下列函数中,一定属于二次函数的是(D)
A.$ y = x + 1 $
B.$ y = x ^ { 2 } + \frac { 2 } { x } $
C.$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $
D.$ y = x ^ { 2 } $

答案： 解：A. $y=x+1$是一次函数，不符合题意；
B. $y=x^2+\frac{2}{x}$中含有分式，不是二次函数，不符合题意；
C. 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$不是二次函数，不符合题意；
D. $y=x^2$符合二次函数定义，是二次函数，符合题意。
结论：D

2. 关于函数 $ y = ( 500 - 10 x ) ( 40 + x ) $,下列说法不正确的是(C)
A.$ y $ 是 $ x $ 的二次函数
B.二次项系数是 $ - 10 $
C.一次项是 $ 100 $
D.常数项是 $ 20000 $

答案： 解：$y=(500 - 10x)(40 + x)$
$=500×40 + 500x - 10x×40 - 10x×x$
$=20000 + 500x - 400x - 10x^2$
$=-10x^2 + 100x + 20000$
A. $y$是$x$的二次函数，正确；
B. 二次项系数是$-10$，正确；
C. 一次项是$100x$，不是$100$，错误；
D. 常数项是$20000$，正确。
答案：C

3. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - 2 b ( a \neq 0 ) $,当 $ x = 2 $ 时,$ y = 8 $；当 $ x = - 1 $ 时,$ y = - 1 $,则 $ a $ 的值为3, $ b $ 的值为2。当 $ x = - 3 $ 时,$ y $ 的值为23。

答案： 解：将 $x=2$，$y=8$ 代入 $y=ax^2 - 2b$，得 $4a - 2b = 8$；
将 $x=-1$，$y=-1$ 代入 $y=ax^2 - 2b$，得 $a - 2b = -1$。
联立方程组：
$\begin{cases}4a - 2b = 8 \\a - 2b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$3a = 9$，解得 $a = 3$。
将 $a = 3$ 代入 $a - 2b = -1$，得 $3 - 2b = -1$，解得 $b = 2$。
二次函数解析式为 $y = 3x^2 - 4$。
当 $x = -3$ 时，$y = 3×(-3)^2 - 4 = 27 - 4 = 23$。
$\therefore a = 3$，$b = 2$，当 $x = -3$ 时，$y = 23$。
3；2；23

4. 如图,某小区计划在一块长为 $ 40 \mathrm { ~m } $、宽为 $ 26 \mathrm { ~m } $ 的矩形空地 $ A B C D $ 上修建三条宽度为 $ x \mathrm { ~m } $ 的通道,使其中两条与 $ A D $ 平行,另一条与 $ A B $ 平行,其余部分种草。若每块草坪的面积都为 $ y \mathrm { ~m } ^ { 2 } $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围。

答案： 解：由题意，六块草坪可合成长为$(40 - 2x)\ \text{m}$、宽为$(26 - x)\ \text{m}$的矩形。
$\therefore 6y=(40 - 2x)(26 - x)$
展开得：$6y=40×26 - 40x - 2x×26 + 2x^2 = 1040 - 40x - 52x + 2x^2 = 2x^2 - 92x + 1040$
$\therefore y=\frac{1}{6}(2x^2 - 92x + 1040)=\frac{1}{3}x^2 - \frac{46}{3}x + \frac{520}{3}$
又$\because x＞0$，$40 - 2x＞0\Rightarrow x＜20$，$26 - x＞0\Rightarrow x＜26$
$\therefore 0 ＜ x ＜ 20$
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2 - \frac{46}{3}x + \frac{520}{3}(0 ＜ x ＜ 20)$。

5. 已知 $ y = ( m - 2 ) x ^ { m ^ { 2 } - 2 m + 2 } + 2 x - 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ - 2 $
B.$ 0 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $ 或 $ 2 $

答案： B 解析：由题意，可知 $m^{2}-2m + 2 = 2$，且 $m - 2\neq0$，解得 $m = 0$。

6. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x $,当 $ x = - 1 $ 时,$ y = - 5 $；当 $ x = 1 $ 时,$ y = 9 $。
(1)求 $ a , b $ 的值；
(2)当 $ x = 2 $ 时,求二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x $ 的值。

答案： （1）解：把$\begin{cases}x=-1\\y=-5\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=9\end{cases}$分别代入$y=ax^{2}+bx$，得
$\begin{cases}-5=a×(-1)^{2}+b×(-1)\\9=a×1^{2}+b×1\end{cases}$
即$\begin{cases}-5=a - b\\9=a + b\end{cases}$
两式相加得：$4=2a$，解得$a=2$
把$a=2$代入$9=a + b$，得$9=2 + b$，解得$b=7$
（2）解：由（1）知二次函数为$y=2x^{2}+7x$
把$x=2$代入，得$y=2×2^{2}+7×2=2×4 + 14=8 + 14=22$

7. 如图,等腰直角三角形 $ A B C $ 的直角边长与正方形 $ M N P Q $ 的边长均为 $ 20 \mathrm { ~cm } $,$ A C $ 与 $ M N $ 在同一条直线上,开始时点 $ A $ 与点 $ N $ 重合,让 $ \triangle A B C $ 以 $ 2 \mathrm { ~cm } / \mathrm { s } $ 的速度向左运动,最终点 $ A $ 与点 $ M $ 重合。
(1)求重叠部分的面积 $ y ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $ 与时间 $ t ( \mathrm { s } ) $ 之间的函数表达式和自变量的取值范围；
(2)当 $ t = 1 , t = 2 $ 时,分别求重叠部分的面积。

答案： （1）解：由题意得，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，运动过程中重叠部分为等腰直角三角形。
$\triangle ABC$向左运动速度为$2\mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\mathrm{s}$，则$AN=2t\mathrm{cm}$。
因为正方形边长为$20\mathrm{cm}$，所以$AM=MN - AN=(20 - 2t)\mathrm{cm}$，即重叠部分等腰直角三角形的直角边长为$(20 - 2t)\mathrm{cm}$。
重叠部分面积$y=\frac{1}{2}(20 - 2t)^{2}=2t^{2}-40t + 200$。
自变量$t$的取值范围：$0\leqslant 2t\leqslant 20$，即$0\leqslant t\leqslant 10$。
所以函数表达式为$y = 2t^{2}-40t + 200(0\leqslant t\leqslant10)$。
（2）解：当$t = 1$时，$y=2×1^{2}-40×1 + 200=162$；
当$t = 2$时，$y=2×2^{2}-40×2 + 200=128$。
所以当$t = 1$时，重叠部分面积为$162\mathrm{cm}^{2}$；当$t = 2$时，重叠部分面积为$128\mathrm{cm}^{2}$。