《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

8. (深圳中考) 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + 1 $ 与一次函数 $ y = 2ax + b $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (A)

A.
B.
C.
D.

答案： 解：二次函数 $ y = ax^2 + bx + 1 $ 与 y 轴交于点 (0,1)。
一次函数 $ y = 2ax + b $ 的斜率为 $ 2a $，二次函数对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
分析选项：
- A：抛物线开口向上（$ a ＞ 0 $），对称轴在 y 轴右侧（$-\frac{b}{2a} ＞ 0 \Rightarrow b ＜ 0$）；直线斜率为正（$ 2a ＞ 0 $），与 y 轴交于负半轴（$ b ＜ 0 $），符合。
- B：抛物线开口向下（$ a ＜ 0 $），直线斜率应为负，但图中直线上升，矛盾。
- C：抛物线与 y 轴交点不是 (0,1)，矛盾。
- D：抛物线开口向下（$ a ＜ 0 $），直线斜率应为负，但图中直线下降与 y 轴交于正半轴（$ b ＞ 0 $），对称轴 $ x = -\frac{b}{2a} ＞ 0 $，但图中抛物线对称轴在 y 轴左侧，矛盾。
结论：A 正确。
答案：A

9. (泰安中考) 将抛物线 $ y = -x^{2}-2x + 3 $ 先向右平移 $ 1 $ 个单位,再向下平移 $ 2 $ 个单位得到的抛物线必定经过点 ( B )
A.$ (-2,2) $
B.$ (-1,1) $
C.$ (0,6) $
D.$ (1,-3) $

答案： B 解析：$ \because y = -x^2 - 2x + 3 = -(x + 1)^2 + 4 $，$ \therefore $ 抛物线 $ y = -x^2 - 2x + 3 $ 的顶点坐标为 $ (-1, 4) $。$ \therefore $ 点 $ (-1, 4) $ 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到点 $ (0, 2) $。$ \because a = -1 $ 不变，$ \therefore $ 得到的抛物线对应的函数表达式为 $ y = -x^2 + 2 $。$ \because $ 当 $ x = -2 $ 时，$ y = -(-2)^2 + 2 = -2 \neq 2 $，$ \therefore $ 点 $ (-2, 2) $ 不在抛物线 $ y = -x^2 + 2 $ 上。故选项 A 错误。同理，可得选项 C，D 错误。$ \because $ 当 $ x = -1 $ 时，$ y = -(-1)^2 + 2 = 1 $，$ \therefore $ 点 $ (-1, 1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2 $ 上。故选项 B 正确。

10. 已知抛物线 $ y = x^{2}-2x + c $ 的顶点 $ A $ 在直线 $ y = x - 5 $ 上,则该抛物线对应的函数表达式为 (A)
A.$ y = x^{2}-2x - 3 $
B.$ y = x^{2}+2x + 3 $
C.$ y = x^{2}-2x - 4 $
D.$ y = x^{2}+6x + 4 $

答案： A 解析：由抛物线 $ y = x^2 - 2x + c $，可知对称轴为直线 $ x = 1 $。$ \because $ 抛物线 $ y = x^2 - 2x + c $ 的顶点 $ A $ 在直线 $ y = x - 5 $ 上，$ \therefore $ 当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 - 5 = -4 $。$ \therefore $ 顶点 $ A $ 的坐标为 $ (1, -4) $。把 $ (1, -4) $ 代入 $ y = x^2 - 2x + c $，得 $ 1 - 2 + c = -4 $，解得 $ c = -3 $。$ \therefore $ 抛物线对应的函数表达式为 $ y = x^2 - 2x - 3 $。

11. 如图,边长为 $ 2 $ 的正方形 $ OABC $ 的顶点 $ A $,$ C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上,抛物线 $ y = -x^{2}+bx + c $ 经过 $ B $,$ C $ 两点。
(1) 求 $ b $,$ c $ 的值；
(2) 若将该抛物线向下平移 $ m $ 个单位,使其顶点落在正方形 $ OABC $ 内 (不包括边上),求 $ m $ 的取值范围。

答案：
(1)
∵ 正方形 $OABC$ 的边长为 2，
∴ 点 $B(2, 2)$，点 $C(0, 2)$。
∵ 抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过 $B$，$C$ 两点，
∴ $\begin{cases} 2 = -4 + 2b + c \\ 2 = c \end{cases}$，
解得 $\begin{cases} b = 2 \\ c = 2 \end{cases}$。
(2) 由
(1) 得抛物线表达式为 $y = -x^2 + 2x + 2$，
∵ $y = -x^2 + 2x + 2 = -(x - 1)^2 + 3$，
∴ 顶点坐标为 $(1, 3)$。
∵ 抛物线向下平移 $m$ 个单位后顶点落在正方形内（不包括边上），
正方形 $OABC$ 顶点纵坐标范围为 $0 ＜ y ＜ 2$，
∴ 平移后顶点纵坐标为 $3 - m$，
则 $0 ＜ 3 - m ＜ 2$，
解得 $1 ＜ m ＜ 3$。
答案：
(1) $b = 2$，$c = 2$；
(2) $1 ＜ m ＜ 3$。