《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

17. (12分)$ A $,$ B $ 两地相距 $ 400km $,李叔叔开车从 $ A $ 地匀速行驶到 $ B $ 地,设小汽车的行驶时间为 $ t $ h,行驶速度为 $ v $ km/h,且全程限速,速度不超过 $ 100km/h $.
(1)写出 $ v $ 关于 $ t $ 的函数表达式和自变量 $ t $ 的取值范围.
(2)若李叔叔开车的速度不超过 $ 80km/h $,则他从 $ A $ 地匀速行驶到 $ B $ 地至少需要多长时间？
(3)若李叔叔 7 时开车从 $ A $ 地出发,他能否在 10 时 40 分之前到达 $ B $ 地？

答案：
(1) 根据题意，路程为400km，行驶时间为$t$h，行驶速度为$v$km/h，由$路程=速度×时间$可得$v=\frac{400}{t}$。当$v = 100$时，$t=\frac{400}{100}=4$。因为$400＞0$，所以当$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，又因$v\leq100$，所以$t\geq4$，自变量$t$的取值范围是$t\geq4$。
(2) 在$v=\frac{400}{t}$中，令$v = 80$，则$t=\frac{400}{80}=5$。因为当$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，所以当$v\leq80$时，$t\geq5$，至少需要5h。
(3) 由
(1)知$t\geq4$，即最少需要4h到达。7时至10时40分经过的时间为$3\frac{2}{3}$h，$3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}\approx3.67$，$3.67＜4$，所以不能在10时40分之前到达。

18. (12分)(金华中考)如图,点 $ A $ 在第一象限内,$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0, x ＞ 0) $ 的图象分别交 $ AO $,$ AB $ 于点 $ C $,$ D $. 已知点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 2) $,$ BD = 1 $.
(1)求 $ k $ 的值及点 $ D $ 的坐标；
(2)已知点 $ P $ 在该反比例函数的图象上,且在 $ \triangle ABO $ 的内部(包括边界),直接写出点 $ P $ 的横坐标 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1)
∵点$C(2,2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0, x ＞ 0)$的图象上，
∴$2=\frac{k}{2}$，解得$k = 4$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵$AB \perp x$轴于点$B$，点$D$在$AB$上，且$BD = 1$，
∴点$D$的纵坐标为$1$。
∵点$D$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴将$y = 1$代入$y=\frac{4}{x}$，得$1=\frac{4}{x}$，解得$x = 4$。
∴点$D$的坐标为$(4,1)$。
(2)$2 \leq x \leq 4$

19. (14分)在平面直角坐标系中,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上的两点的坐标分别为 $ (n, 3n) $,$ (n + 1, 2n) $.
(1)求 $ n $ 的值.
(2)如图,直线 $ l $ 为正比例函数 $ y = x $ 的图象,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,过点 $ A $ 作 $ AB \perp l $ 于点 $ B $,过点 $ B $ 作 $ BC \perp x $ 轴于点 $ C $,过点 $ A $ 作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $. 记 $ \triangle BOC $ 的面积为 $ S_{1} $,$ \triangle ABD $ 的面积为 $ S_{2} $,求 $ S_{1} - S_{2} $ 的值.

答案：
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$(n,3n)$，$(n+1,2n)$，
∴$n\cdot3n=(n+1)\cdot2n$，
$3n^2=2n(n+1)$，
$3n^2=2n^2+2n$，
$n^2 - 2n=0$，
$n(n - 2)=0$，
解得$n_1=2$，$n_2=0$（不合题意，舍去），
∴$n$的值为$2$。
(2)由
(1)得$n=2$，则点$(2,6)$在反比例函数图象上，
∴$k=2×6=12$，反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
设点$B$坐标为$(m,m)$（
∵$B$在$y=x$上），
∵$BC⊥x$轴，
∴$C(m,0)$，$OC=m$，$BC=m$，
$S_1=\frac{1}{2}OC\cdot BC=\frac{1}{2}m^2$。
∵$AB⊥l$（$l$为$y=x$），直线$l$斜率为$1$，
∴$AB$斜率为$-1$，
设$AB$解析式为$y=-x + b$，将$B(m,m)$代入得$m=-m + b$，$b=2m$，
∴$AB$：$y=-x + 2m$。
设点$A$坐标为$(a,\frac{12}{a})$，
∵$A$在$AB$上，
∴$\frac{12}{a}=-a + 2m$，
即$a^2 - 2ma + 12=0$。
又
∵$AD⊥BC$，$BC$为竖直线$x=m$，
∴$D$点横坐标为$m$，纵坐标与$A$相同为$\frac{12}{a}$，
$BD=|m - \frac{12}{a}|$，$AD=|a - m|$，
由$AB$斜率为$-1$，知$\triangle ABD$为等腰直角三角形，
∴$AD=BD$，
即$|a - m|=|m - \frac{12}{a}|$，
∵$x＞0$，$a＞m$（由图知），$\frac{12}{a}＜m$，
∴$a - m=m - \frac{12}{a}$，$a + \frac{12}{a}=2m$，
由$a^2 - 2ma + 12=0$得$a^2 + 12=2ma$，即$a + \frac{12}{a}=2m$（一致）。
$S_2=\frac{1}{2}AD\cdot BD=\frac{1}{2}(a - m)^2$，
由$a + \frac{12}{a}=2m$，两边平方：$a^2 + 24 + \frac{144}{a^2}=4m^2$，
又$a^2 + 12=2ma$，$(a - m)^2=a^2 - 2ma + m^2=12 + m^2 - 2ma + 2ma - a^2$（此处修正为直接用$a^2 - 2ma=-12$），
即$(a - m)^2=m^2 - 12$，
∴$S_2=\frac{1}{2}(m^2 - 12)$，
$S_1 - S_2=\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}(m^2 - 12)=\frac{1}{2}×12=6$。
（注：原参考答案中“$ (m + t)(m - t)=12 $”推导更简洁，此处按规范步骤补充了斜率及方程关系，最终结果一致）
答案：
(1)$2$；
(2)$6$。