《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

9. 已知抛物线 $ y = ax^{2}-2x + 3 $ 经过点 $ A(2,3) $。
(1) 求 $ a $ 的值和顶点坐标；
(2) 若点 $ B(m,n) $ 在该抛物线上,且 $ -2\leqslant m\leqslant2 $,求 $ n $ 的取值范围。

答案：
(1) 解：
∵抛物线$y=ax^{2}-2x + 3$经过点$A(2,3)$，
∴$3=a×2^{2}-2×2 + 3$，
解得$a=1$。
∴$y=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
(2) 解：
∵抛物线$y=x^{2}-2x + 3$的对称轴为直线$x=1$，且开口向上，
∴当$x\leq1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\geq1$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$-2\leq m\leq2$，
∴当$m=1$时，$n$有最小值$2$；当$m=-2$时，$n=(-2)^{2}-2×(-2)+3=4 + 4 + 3=11$，
∴$n$的取值范围是$2\leq n\leq11$。

10. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+(a + 2)x - 1 $($ a $ 为常数,且 $ a\neq0 $),下列说法正确的是(C)
A.若 $ a ＞ 0 $,则当 $ x ＜ -1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.若 $ a ＞ 0 $,则当 $ x ＜ -1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.若 $ a ＜ 0 $,则当 $ x ＜ -1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.若 $ a ＜ 0 $,则当 $ x ＜ -1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

答案： C 解析: $ \because $ 抛物线 $ y = ax^2 + (a + 2)x - 1 $ 的对称轴为直线 $ x = - \frac{a + 2}{2a} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} $, 若 $ a ＜ 0 $, 则 $ - \frac{1}{a} ＞ 0 $, $ \therefore - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} ＞ - \frac{1}{2} $. 又 $ \because a ＜ 0 $, $ \therefore $ 抛物线开口向下. $ \therefore $ 当 $ x ＜ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 又 $ \because $ 当 $ x ＜ -1 $ 时, 一定有 $ x ＜ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} $, $ \therefore $ 若 $ a ＜ 0 $, 则当 $ x ＜ -1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 若 $ a ＞ 0 $, 则 $ - \frac{1}{a} ＜ 0 $, 抛物线开口向上. $ \therefore - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} ＜ - \frac{1}{2} $. 分两种情况讨论: ① 若 $ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} ＜ -1 $, 则 $ 0 ＜ a ＜ 2 $. 当 $ x ＜ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小; 当 $ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} ＜ x ＜ -1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. ② 若 $ -1 ＜ - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} ＜ - \frac{1}{2} $, 则 $ a ＞ 2 $. 当 $ x ＜ -1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 综上所述, 若 $ a ＞ 0 $, 则当 $ x ＜ -1 $ 时, 二次函数的增减性不一致. $ \therefore $ 选项 C 符合题意.

11. 抛物线 $ y = x^{2}-2x - 1 $ 上有点 $ P(-1,y_{1}) $ 和 $ Q(m,y_{2}) $。若 $ y_{1}＞y_{2} $,则实数 $ m $ 的取值范围是$-1 < m < 3$。

答案： 解：
∵抛物线 $ y = x^2 - 2x - 1 $ 中，$ a = 1 ＞ 0 $，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 $ x = -\frac{-2}{2 × 1} = 1 $。
点 $ P(-1, y_1) $ 关于对称轴 $ x = 1 $ 的对称点为 $ (3, y_1) $。
∵抛物线开口向上，当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，点 $ Q(m, y_2) $ 需位于点 $ P $ 及其对称点之间，
∴$ -1 ＜ m ＜ 3 $。
答案：$ -1 ＜ m ＜ 3 $

12. 有一个抛物线形蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式可以用 $ y = ax^{2}+bx $ 来表示。已知大棚在地面上的宽度 $ OA $ 为 $ 8m $,距离点 $ O $ $ 2m $ 处的棚高 $ BC $ 为 $ \frac{9}{4}m $。
(1) 求该抛物线对应的函数表达式；
(2) 求蔬菜大棚离地面的最大高度；
(3) 若借助横梁 $ DE $ 建一个门,要求门的高度不低于 $ \frac{3}{2}m $,则横梁 $ DE $ 最宽为多少米？

答案：
(1) 由题意，抛物线 $ y = ax^2 + bx $ 经过点 $ C(2, \frac{9}{4}) $ 和 $ A(8, 0) $，可得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b = \frac{9}{4} \\64a + 8b = 0\end{cases}$
解方程组得：
$\begin{cases}a = -\frac{3}{16} \\b = \frac{3}{2}\end{cases}$
所以抛物线对应的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{2}x $。
(2) 将函数表达式化为顶点式：
$y = -\frac{3}{16}(x - 4)^2 + 3$
当 $ x = 4 $ 时，$ y $ 有最大值 3，即蔬菜大棚离地面的最大高度是 $ 3m $。
(3) 当 $ y = \frac{3}{2} $ 时，解方程：
$\frac{3}{2} = -\frac{3}{16}x^2 + \frac{3}{2}x$
解得 $ x_1 = 4 + 2\sqrt{2} $，$ x_2 = 4 - 2\sqrt{2} $。
横梁 $ DE $ 的宽度为 $ x_1 - x_2 = (4 + 2\sqrt{2}) - (4 - 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}m $。

13. 已知二次函数 $ y = ax^{2}-bx + 3 $($ a\neq0 $)的图象过点 $ A(2,3) $,交 $ y $ 轴于点 $ B $。
(1) 求点 $ B $ 的坐标及二次函数图象的对称轴；
(2) 若二次函数图象的最高点的纵坐标为 $ 4 $,求二次函数的表达式；
(3) 已知点 $ (m,y_{1}) $,$ (n,y_{2}) $ 在二次函数的图象上,且 $ 0 ＜ m ＜ n ＜ 1 $,试比较 $ y_{1} $ 和 $ y_{2} $ 的大小。

答案：
(1) 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = ax^2 - bx + 3 $，得 $ y = 3 $，$\therefore B(0, 3)$。
$\because$ 二次函数图象过点 $ A(2, 3) $，$\therefore 4a - 2b + 3 = 3$，即 $ b = 2a $。
$\therefore$ 对称轴为直线 $ x = -\frac{-b}{2a} = \frac{b}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1$。
(2) $\because$ 对称轴为直线 $ x = 1 $，最高点纵坐标为 $ 4 $，$\therefore$ 顶点坐标为 $ (1, 4) $。
设二次函数表达式为 $ y = a(x - 1)^2 + 4 $，将 $ B(0, 3) $ 代入得：
$ a(0 - 1)^2 + 4 = 3 $，解得 $ a = -1 $。
$\therefore y = -(x - 1)^2 + 4 = -x^2 + 2x + 3$。
(3) ① 当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线开口向上，对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
$\because 0 ＜ m ＜ n ＜ 1$，$\therefore y_1 ＞ y_2$。
② 当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线开口向下，对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 增大而增大。
$\because 0 ＜ m ＜ n ＜ 1$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
综上，当 $ a ＞ 0 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $；当 $ a ＜ 0 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $。