《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

8. 已知四边形$ABCD$是菱形,对角线$AC$,$BD交于点O$。
(1) 如图①,若$AC = 8$,$BD = 6$,$DM\perp AB于点M$,求$DM$的长。
(2) 如图②,$F是AC$上一点,连结$BF$,过点$F作GF\perp BF$,过点$D作DE\perp GF于点E$。若$DE = 4$,$EF = 3$,求$BD$的长。

答案：
$(1) $
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC=8，$$BD=6，$$ $　　
∴$OA=OC=4，$$OD=OB=3，$$AC⊥BD，$$∠AOB=90°。$$ $　　
∴$AB=\sqrt {(OA²+OB²)}=5。$$ $　　
∵$S$菱形$ABCD=\frac{1}{2}·AC·BD=AB·DM，$$ $　　
∴$\frac {1}{2}×8×6=5DM，$解得$DM=\frac {24}{5}。$$ $　　
$(2) $过点$B$作$BH⊥DE$交$DE$延长线于$H，$连结$DF。$$ $　　
∵$GF⊥BF，$$DE⊥GF，$$BH⊥DE，$$ $　　
∴四边形$EFBH$是矩形。$ $　　
∴$EH=BF，$$BH=EF=3。$$ $　　
在$Rt△EDF$中，$DF=\sqrt {(DE²+EF²)}=5。$$ $　　
由菱形对称性得$BF=DF=5，$
∴$EH=5。$$ $　　
∴$DH=DE+EH=4+5=9。$$ $　　
在$Rt△BDH$中，$BD=\sqrt {(DH²+BH²)}=3\sqrt {10}$　　

9. 如图,在$\triangle ABC$中,延长$BC至点D$,使得$CD = \frac{1}{2}BC$,过$AC的中点E$,作$EF// CD$(点$F在点E$的右侧),且$EF = BC$,连结$DF$。若$AB = 4$,则$DF$的长为(B)
A.$3$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 1. 首先，取$BC$的中点$G$，连接$EG$：
因为$E$是$AC$的中点，$G$是$BC$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。所以$EG// AB$，且$EG=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 4$，则$EG=\frac{1}{2}×4 = 2$。
2. 然后，分析线段关系：
因为$CD=\frac{1}{2}BC$，$G$是$BC$中点，所以$CD = BG=GC$。
又因为$EF = BC$，所以$EF=2CD$，即$CD = \frac{1}{2}EF$。
由于$EF// CD$，$EG// AB$，$AB$与$BC$相交，$EG$与$EF$相交，$BG = CD$，$EG// AB$，$EF// CD$，可得$EG// DF$且$EG = DF$（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这里可通过证明$\triangle EGC\cong\triangle FDC$（$SAS$：$EG// AB$，$\angle ECG=\angle FDC$（同位角），$EC = EC$（$E$是$AC$中点），$GC = CD$），进而得到$EG = DF$）。
所以$DF = EG=2$，答案是B。

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD与BC$不平行,$F为CD$的中点,$E为AB$的中点,则(B)
A.$AD + BC ＜ 2EF$
B.$AD + BC ＞ 2EF$
C.$AD + BC = 2EF$
D.无法确定$AD + BC与2EF$的大小关系

答案： 1. 首先，连接$BD$，取$BD$的中点$G$：
因为$E$是$AB$的中点，$G$是$BD$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
在$\triangle ABD$中，$EG$是中位线，所以$EG=\frac{1}{2}AD$。
又因为$F$是$CD$的中点，$G$是$BD$的中点，在$\triangle BCD$中，$FG$是中位线，所以$FG = \frac{1}{2}BC$。
2. 然后，根据三角形三边关系：
在$\triangle EFG$中，根据三角形三边关系$EG + FG＞EF$（三角形任意两边之和大于第三边）。
把$EG=\frac{1}{2}AD$，$FG=\frac{1}{2}BC$代入$EG + FG＞EF$中，得到$\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC＞EF$。
不等式两边同时乘以$2$，则$AD + BC＞2EF$。
所以$AD + BC＞2EF$，答案是B。

11. 如图,$BD$,$AC是四边形ABCD$的对角线,$E$,$F$,$G$,$H分别是线段AD$,$DB$,$BC$,$AC$的中点。
(1) 求证：线段$EG$,$FH$互相平分。
(2) 当四边形$ABCD$满足什么条件时,$EG\perp FH$？请说明理由。

答案：
1. （1）证明：
连接$EF$，$FG$，$GH$，$HE$。
因为$E$，$F$分别是$AD$，$DB$的中点，所以根据三角形中位线定理，$EF// AB$，且$EF = \frac{1}{2}AB$。
因为$G$，$H$分别是$BC$，$AC$的中点，所以$GH// AB$，且$GH=\frac{1}{2}AB$。
所以$EF// GH$，$EF = GH$。
所以四边形$EFGH$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以线段$EG$，$FH$互相平分。
2. （2）解：
当$AB = CD$时，$EG\perp FH$。
理由：
因为$E$，$H$分别是$AD$，$AC$的中点，所以$EH=\frac{1}{2}CD$。
由（1）知$EF=\frac{1}{2}AB$。
当$AB = CD$时，$EH = EF$。
又因为四边形$EFGH$是平行四边形，所以平行四边形$EFGH$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
因为菱形的对角线互相垂直，所以$EG\perp FH$。
综上，（1）得证；（2）当$AB = CD$时，$EG\perp FH$。