《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 对于二次函数 $ y = 3(x - 6)^2 $ 的图象,下列说法正确的是(C)
A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = -6 $
C.顶点坐标是 $ (6, 0) $
D.与 $ y $ 轴没有交点

答案： 解：二次函数 $ y = 3(x - 6)^2 $ 为顶点式，其中 $ a = 3 $，$ h = 6 $，$ k = 0 $。
- 因为 $ a = 3 ＞ 0 $，所以抛物线开口向上，A 选项错误。
- 对称轴为直线 $ x = h = 6 $，B 选项错误。
- 顶点坐标为 $ (h, k) = (6, 0) $，C 选项正确。
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3(0 - 6)^2 = 3×36 = 108 $，所以与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 108) $，D 选项错误。
结论：C

2. (徐州中考)在平面直角坐标系中,将抛物线 $ y = x^2 $ 向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位后,所得新抛物线对应的函数表达式为(B)
A.$ y = (x - 2)^2 + 1 $
B.$ y = (x + 2)^2 + 1 $
C.$ y = (x + 2)^2 - 1 $
D.$ y = (x - 2)^2 - 1 $

答案： 解：抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。
原抛物线为 $ y = x^2 $，向左平移 2 个单位得 $ y = (x + 2)^2 $，再向上平移 1 个单位得 $ y = (x + 2)^2 + 1 $。
答案：B

3. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 向右平移 3 个单位后得到抛物线 $ y = 2(x + 1)^2 $,则 $ a = $2,$ h = $-4。

答案： 解：抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 向右平移 3 个单位后，得到的抛物线解析式为 $ y = a(x - h - 3)^2 $。
已知平移后抛物线为 $ y = 2(x + 1)^2 $，则可得：
$ a = 2 $，且 $ x - h - 3 = x + 1 $
解得 $ -h - 3 = 1 $，$ h = -4 $
$ a = 2 $，$ h = -4 $

4. 如果抛物线 $ y = 2(x - m)^2 + 6 - 3m $ 的顶点在第四象限,那么 $ m $ 的值可以是3(写出一个即可)。

答案： 解：抛物线 $ y = 2(x - m)^2 + 6 - 3m $ 的顶点坐标为 $ (m, 6 - 3m) $。
因为顶点在第四象限，所以顶点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即：
$\begin{cases}m ＞ 0 \\6 - 3m ＜ 0\end{cases}$
解不等式 $ 6 - 3m ＜ 0 $，得 $ m ＞ 2 $。
综上，$ m ＞ 2 $，所以 $ m $ 的值可以是 3。
3

5. 已知二次函数 $ y = a(x + m)^2(a \neq 0) $ 的图象的顶点坐标为 $ (-1, 0) $,它的形状与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 相同,但开口方向相反。
(1)写出这个二次函数的表达式。
(2)点 $ B(2, -2) $ 在这个函数的图象上吗？
(3)你能通过左右平移该函数的图象,使它经过点 $ B(2, -2) $ 吗？若能,请写出平移方案。

答案： （1）解：因为二次函数$y=a(x+m)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，所以$-m=-1$，即$m=1$。又因为它的形状与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$相同，开口方向相反，所以$a=-\frac{1}{2}$，则这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1)^2$。
（2）解：把$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}(x + 1)^2$，得$y=-\frac{1}{2}×(2 + 1)^2=-\frac{9}{2}$。因为$-\frac{9}{2}\neq -2$，所以点$B(2,-2)$不在这个函数的图象上。
（3）解：能。设平移后的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1 + n)^2$，把$B(2,-2)$代入，得$-2=-\frac{1}{2}(2 + 1 + n)^2$，即$(3 + n)^2=4$，解得$n_1=-1$，$n_2=-5$。所以将该函数的图象向右平移1个单位或5个单位，即可经过点$B$。

6. 若二次函数 $ y = a(x - m)^2 + n $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = -mx - n $ 的图象经过(B)
A.一、二、三象限
B.一、二、四象限
C.二、三、四象限
D.一、三、四象限

答案： 解：由二次函数$y=a(x - m)^2 + n$的图象可知，抛物线开口向上，所以$a＞0$；顶点$(m,n)$在第四象限，因此$m＞0$，$n＜0$。
对于一次函数$y=-mx - n$，因为$m＞0$，所以$-m＜0$；又因为$n＜0$，所以$-n＞0$。
一次函数$y=kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＜0$，$b＞0$时，函数图象经过第一、二、四象限。
故一次函数$y=-mx - n$的图象经过一、二、四象限。
答案：B

7. 将函数 $ y = x^2 $ 的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点 $ A(1, 4) $ 的方法是(D)
A.向左平移 1 个单位
B.向右平移 3 个单位
C.向上平移 3 个单位
D.向下平移 1 个单位

答案： D 解析：选项 A：平移后，得 $y = (x + 1)^2$，当 $x = 1$ 时，$y = 4$，$\therefore$ 图象经过点 $A$，该选项不合题意。选项 B：平移后，得 $y = (x - 3)^2$，当 $x = 1$ 时，$y = 4$，$\therefore$ 图象经过点 $A$，该选项不合题意。选项 C：平移后，得 $y = x^2 + 3$，当 $x = 1$ 时，$y = 4$，$\therefore$ 图象经过点 $A$，该选项不合题意。选项 D：平移后，得 $y = x^2 - 1$，当 $x = 1$ 时，$y = 0 ≠ 4$，$\therefore$ 图象不经过点 $A$，该选项符合题意。

8. 如图,直线 $ y = -3x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + k $ 经过点 $ A $,$ B $,并与 $ x $ 轴交于另一点 $ C $,其顶点为 $ P $。
(1)求点 $ C $ 的坐标及 $ a $,$ k $ 的值；
(2)若抛物线的对称轴上有一点 $ Q $,使得以 $ A $,$ B $,$ Q $ 为顶点的三角形是以 $ AB $ 为底边的等腰三角形,求点 $ Q $ 的坐标。

答案： （1）$\because$ 直线 $y = -3x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，
$\therefore$ 令 $y = 0$，则 $-3x + 3 = 0$，解得 $x = 1$，$\therefore A(1,0)$；
令 $x = 0$，则 $y = 3$，$\therefore B(0,3)$。
$\because$ 抛物线 $y = a(x - 2)^2 + k$ 的对称轴为直线 $x = 2$，且抛物线与 $x$ 轴交于 $A$，$C$ 两点，
$\therefore$ 点 $A$ 与点 $C$ 关于直线 $x = 2$ 对称。
$\because A(1,0)$，对称轴为 $x = 2$，$\therefore$ 点 $C$ 的横坐标为 $2 + (2 - 1) = 3$，$\therefore C(3,0)$。
$\because$ 抛物线 $y = a(x - 2)^2 + k$ 经过点 $A(1,0)$，$B(0,3)$，
$\therefore \begin{cases} a(1 - 2)^2 + k = 0, \\ a(0 - 2)^2 + k = 3, \end{cases}$
即 $\begin{cases} a + k = 0, \\ 4a + k = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a = 1, \\ k = -1. \end{cases}$
（2）设点 $Q$ 的坐标为 $(2, m)$，连结 $AQ$，$BQ$。
$\because A(1,0)$，$Q(2,m)$，
$\therefore AQ^2 = (2 - 1)^2 + (m - 0)^2 = 1 + m^2$。
$\because B(0,3)$，$Q(2,m)$，
$\therefore BQ^2 = (2 - 0)^2 + (m - 3)^2 = 4 + (m - 3)^2$。
$\because \triangle ABQ$ 以 $AB$ 为底边的等腰三角形，
$\therefore AQ = BQ$，$\therefore AQ^2 = BQ^2$，
即 $1 + m^2 = 4 + (m - 3)^2$，
化简得 $1 + m^2 = 4 + m^2 - 6m + 9$，
解得 $m = 2$，
$\therefore Q(2,2)$。
综上，（1）点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$，$a = 1$，$k = -1$；（2）点 $Q$ 的坐标为 $(2,2)$。