《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

21. (8分)新考法 新定义题 如果关于$ x 的一元二次方程 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如,一元二次方程$ x ^ { 2 } + x = 0 的两个根是 x _ { 1 } = 0 $,$ x _ { 2 } = - 1 $,则方程$ x ^ { 2 } + x = 0 $是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程$ x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0 $是否为“邻根方程”；
(2)已知关于$ x 的方程 x ^ { 2 } - ( m - 1 ) x - m = 0 $($ m $是常数)是“邻根方程”,求$ m $的值.

答案： （1）解方程$x^{2}-5x + 6 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=2$。因为$3 - 2 = 1$，所以该方程是“邻根方程”。
（2）解方程$x^{2}-(m - 1)x - m = 0$，因式分解得$(x - m)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=m$，$x_{2}=-1$。因为方程是“邻根方程”，所以$|m - (-1)| = 1$，即$|m + 1| = 1$。当$m + 1 = 1$时，$m = 0$；当$m + 1 = -1$时，$m = -2$。综上，$m = 0$或$m = -2$。

22. (8分)学校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动,并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品. 学校在商店里了解到的信息如下：若一次性购买数量不超过10个,则每个模型的价格为40元；若一次性购买数量超过10个,则每多购买1个,每个模型的价格降低0.5元,但每个模型的价格不低于30元. 若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元,求学校购买“神舟载人飞船”模型的数量.

答案： 解：因为 $40×10 = 400$（元），$400＜900$，所以学校购买模型的数量超过10个。
设学校购买模型的数量为$x$个，则每个模型的价格为$40 - 0.5(x - 10) = (45 - 0.5x)$元。
依题意，得$(45 - 0.5x)x = 900$，
整理，得$x^{2}-90x + 1800 = 0$，
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=60$。
当$x = 30$时，$45 - 0.5x = 45 - 0.5×30 = 30$，符合题意；
当$x = 60$时，$45 - 0.5x = 45 - 0.5×60 = 15＜30$，不合题意，舍去。
所以学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为30个。

23. (10分)如图,某农场要建一个饲养场(矩形$ A B C D $),饲养场两面靠墙($ A D $位置的墙最大可用长度为27米,$ A B $位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在图中标有虚线的三处各留一个1米宽的门(不用木栏),建成后木栏的总长为45米.
(1)若饲养场(矩形$ A B C D $)的一边$ C D $的长为8米,则另一边$ B C = $24米.
(2)若饲养场(矩形$ A B C D $)的面积为180平方米,求边$ C D $的长.
设$CD = x(0 ＜ x \leq 15)$米，则$BC = 45 - x - 2(x - 1) + 1 = (48 - 3x)$米。
由题意，得$x(48 - 3x) = 180$，
整理，得$x^2 - 16x + 60 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 10$。
当$x = 6$时，$BC = 48 - 3×6 = 30$（米），$30 ＞ 27$，不合题意，舍去；
当$x = 10$时，$BC = 48 - 3×10 = 18$（米），$18 ＜ 27$，符合题意。
$\therefore$边$CD$的长为10米。
(3)饲养场(矩形$ A B C D $)的面积能达到210平方米吗？若能达到,求出边$ C D $的长；若不能达到,请说明理由.
不能。
理由：设$CD = y(0 ＜ y \leq 15)$米，则$BC = 45 - y - 2(y - 1) + 1 = (48 - 3y)$米。
由题意，得$y(48 - 3y) = 210$，
整理，得$y^2 - 16y + 70 = 0$，
$\because b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4×1×70 = -24 ＜ 0$，
$\therefore$该方程没有实数根，
$\therefore$饲养场的面积不能达到210平方米。

答案： （1）24
（2）设$CD = x(0 ＜ x \leq 15)$米，则$BC = 45 - x - 2(x - 1) + 1 = (48 - 3x)$米。
由题意，得$x(48 - 3x) = 180$，
整理，得$x^2 - 16x + 60 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 10$。
当$x = 6$时，$BC = 48 - 3×6 = 30$（米），$30 ＞ 27$，不合题意，舍去；
当$x = 10$时，$BC = 48 - 3×10 = 18$（米），$18 ＜ 27$，符合题意。
$\therefore$边$CD$的长为10米。
（3）不能。
理由：设$CD = y(0 ＜ y \leq 15)$米，则$BC = 45 - y - 2(y - 1) + 1 = (48 - 3y)$米。
由题意，得$y(48 - 3y) = 210$，
整理，得$y^2 - 16y + 70 = 0$，
$\because b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4×1×70 = -24 ＜ 0$，
$\therefore$该方程没有实数根，
$\therefore$饲养场的面积不能达到210平方米。