《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 若代数式$\sqrt {x}+\frac {1}{\sqrt {xy}}$有意义,则在平面直角坐标系中,点$(x,y)$在( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 要使代数式$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{xy}}$有意义，需满足：
1. $\sqrt{x}$有意义，则$x ＞ 0$；
2. $\sqrt{xy}$在分母中，需$\sqrt{xy}$有意义且$\sqrt{xy} \neq 0$，即$xy ＞ 0$。
因为$x ＞ 0$且$xy ＞ 0$，所以$y ＞ 0$。
因此，点$(x, y)$的横、纵坐标均为正数，在第一象限。
答案：A

2. 若$\sqrt {a+b+5}+|2a-b+1|= 0$,则$(b-a)^{2023}$的值为(A)
A.-1
B.1
C.$5^{2023}$
D.$-5^{2023}$

答案： A 解析：
∵ $\sqrt{a + b + 5} \geq 0$，$|2a - b + 1| \geq 0$，且 $\sqrt{a + b + 5} + |2a - b + 1| = 0$，
∴ $\sqrt{a + b + 5} = 0$，$|2a - b + 1| = 0$．
∴ $\begin{cases} a + b + 5 = 0, \\ 2a - b + 1 = 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = -2, \\ b = -3. \end{cases}$
∴ $(b - a)^{2023} = (-1)^{2023} = -1$．

3. 若$\sqrt {3-x}+\frac {(x-2.5)^{0}}{\sqrt {x-2}}$有意义,则x的取值范围是$2 ＜ x \leq 3$且$x \neq 2.5$。

答案： 解：要使$\sqrt {3 - x} + \frac{(x - 2.5)^0}{\sqrt{x - 2}}$有意义，需满足：
1. $3 - x \geq 0$，解得$x \leq 3$；
2. $x - 2 ＞ 0$，解得$x ＞ 2$；
3. $x - 2.5 \neq 0$，解得$x \neq 2.5$。
综上，$x$的取值范围是$2 ＜ x \leq 3$且$x \neq 2.5$。
答案：$2 ＜ x \leq 3$且$x \neq 2.5$

4. 已知a,b分别为等腰三角形的两条边的长,且a,b满足$b= 4+\sqrt {3a-6}+3\sqrt {2-a}$,则此等腰三角形的周长为______10。

答案： 解：由题意，得$3a - 6 \geq 0$，$2 - a \geq 0$，解得$a = 2$。
将$a = 2$代入$b = 4+\sqrt{3a - 6}+3\sqrt{2 - a}$，得$b = 4$。
分情况讨论：
① 当$2$为腰长时，三边长为$2$，$2$，$4$。
因为$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
② 当$2$为底边长时，三边长为$2$，$4$，$4$。
因为$2 + 4 ＞ 4$，满足三角形三边关系，所以能组成三角形。
此时周长为$2 + 4 + 4 = 10$。
综上，此等腰三角形的周长为$10$。

5. 已知m,n在数轴上的位置如图所示,化简$2\sqrt {(m-n)^{2}}-\sqrt {(2m+n)^{2}}-\sqrt {m^{2}}$的结果是(D)

A.$-3n+3m$
B.$3n-m$
C.$-n+3m$
D.$3n+m$

答案： D 解析：由数轴，易知 $m - n ＜ 0$，$2m + n ＜ 0$，$m ＜ 0$，
∴ 原式 $= 2|m - n| - |2m + n| - |m| = -2m + 2n + 2m + n + m = 3n + m$．

6. 化简$\sqrt {4x^{2}-4x+1}-(\sqrt {1-3x})^{2}$的结果为(C)
A.2
B.$-4x+4$
C.x
D.$5x-2$

答案： C 解析：原式 $= \sqrt{(2x - 1)^2} - (1 - 3x) = |2x - 1| - 1 + 3x$．由 $\sqrt{1 - 3x}$ 有意义，可知 $1 - 3x \geq 0$，
∴ $x \leq \frac{1}{3}$．
∴ $2x - 1 \leq -\frac{1}{3} ＜ 0$．
∴ 原式 $= |2x - 1| - 1 + 3x = 1 - 2x - 1 + 3x = x$．易错提示：易忽视题目中的隐含条件，给出算式要求化简，则说明原式一定有意义，这是题目的隐含条件，在求解时若忽视这一条件，容易造成化简失误，故本题的解题关键是确定 $x$ 的取值范围．

7. 无论x取何实数,代数式$\sqrt {x^{2}-4x+m}$都有意义,化简式子$\sqrt {(m-3)^{2}}+\sqrt {(4-m)^{2}}$。

答案： 解：
∵无论x取何实数，代数式$\sqrt{x^2 - 4x + m}$都有意义，
∴$x^2 - 4x + m \geq 0$对任意实数x恒成立。
∵$x^2 - 4x + m = (x - 2)^2 + m - 4$，$(x - 2)^2 \geq 0$，
∴$m - 4 \geq 0$，即$m \geq 4$。
当$m \geq 4$时，$m - 3 ＞ 0$，$4 - m \leq 0$，
∴$\sqrt{(m - 3)^2} + \sqrt{(4 - m)^2} = (m - 3) + (m - 4) = 2m - 7$。

8. 先阅读下面的材料,再回答问题。
化简：$\sqrt {x^{2}-6x+9}+\sqrt {x^{2}+4x+4}$。
由于题中没有给出x的取值范围,因此要分类讨论。$\sqrt {x^{2}-6x+9}+\sqrt {x^{2}+4x+4}= \sqrt {(x-3)^{2}}+\sqrt {(x+2)^{2}}= |x-3|+|x+2|$。
令$x-3= 0$,$x+2= 0$,分别求出$x= 3$,$x= -2$[称3,-2分别为$\sqrt {(x-3)^{2}}$,$\sqrt {(x+2)^{2}}$的零点值]。然后在数轴上标出表示3和-2的点。如图,数轴被分成三段,即$x＜-2$,$-2≤x＜3$,$x≥3$。当$x＜-2$时,原式$=-(x-3)-(x+2)= -x+3-x-2= -2x+1$；当$-2≤x＜3$时,原式$=-(x-3)+(x+2)= -x+3+x+2= 5$；当$x≥3$时,原式$=(x-3)+(x+2)= x-3+x+2= 2x-1$。
(1)分别求出$\sqrt {(x+1)^{2}}和\sqrt {(x-2)^{2}}$的零点值；
(2)化简：$\sqrt {x^{2}+6x+9}+\sqrt {x^{2}-2x+1}-\sqrt {x^{2}-4x+4}$。

答案：
(1) $\sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$，$\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$。令$x + 1 = 0$，得$x = -1$；令$x - 2 = 0$，得$x = 2$。$\therefore \sqrt{(x + 1)^2}$的零点值为$-1$，$\sqrt{(x - 2)^2}$的零点值为$2$。
(2) 原式$= \sqrt{(x + 3)^2} + \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x - 2)^2} = |x + 3| + |x - 1| - |x - 2|$。令$x + 3 = 0$，得$x = -3$；令$x - 1 = 0$，得$x = 1$；令$x - 2 = 0$，得$x = 2$。当$x ＜ -3$时，原式$= -(x + 3) - (x - 1) + (x - 2) = -x - 4$；当$-3 \leq x ＜ 1$时，原式$= (x + 3) - (x - 1) + (x - 2) = x + 2$；当$1 \leq x ＜ 2$时，原式$= (x + 3) + (x - 1) + (x - 2) = 3x$；当$x \geq 2$时，原式$= (x + 3) + (x - 1) - (x - 2) = x + 4$。