《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

12. 一元二次方程$ 4 x ( x - 2 ) = x - 2 $的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{4}$.

答案： 解：$4x(x - 2) = x - 2$
移项得$4x(x - 2)-(x - 2)=0$
因式分解得$(x - 2)(4x - 1)=0$
则$x - 2 = 0$或$4x - 1 = 0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{4}$
$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{4}$

13. 若在实数范围内定义一种运算“*”,使$ a * b = ( a + 1 ) ^ { 2 } - a b $,则方程$ ( x + 2 ) * 5 = 0 $的解为$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

答案： 解：由题意，得$(x + 2 + 1)^2 - (x + 2)×5 = 0$
化简得$x^2 + x - 1 = 0$
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$
$x = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$
$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

14. (上海中考)已知$ x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + m = 0 $有两个不相等的实数根,则$ m $的取值范围是______$m ＜ 3$.

答案： 解：
∵方程 $x^2 - 2\sqrt{3}x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，
∴判别式 $\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × 1 × m ＞ 0$，
即 $12 - 4m ＞ 0$，
解得 $m ＜ 3$。
$m ＜ 3$

15. (枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于$ x $的方程 $x ^ { 2 } - 6 x + n = 0 $的两个根,则$ n $的值为8或9.

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：当4为腰长时，
将$x = 4$代入方程$x^{2}-6x + n = 0$，
得$4^{2}-6×4 + n = 0$，
解得$n = 8$，
此时原方程为$x^{2}-6x + 8 = 0$，
解得$x = 2$或$x = 4$，
因为$2 + 4＞4$，所以$n = 8$符合题意。
情况二：当4为底边长时，
方程$x^{2}-6x + n = 0$有两个相等的实数根，
所以$\Delta = (-6)^{2}-4×1×n = 0$，
解得$n = 9$，
此时原方程为$x^{2}-6x + 9 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=3$，
因为$3 + 3＞4$，所以$n = 9$符合题意。
综上，$n$的值为8或9。

16. 某种服装的原价为200元/件,现连续两次降价,每次降价的百分率相同. 已知降价后的价格不能低于进价,即110元/件,且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格贵32元/件,则每次降价的百分率是20%.

答案： 解：设每次降价的百分率是$x$。
依题意，得$200(1 - x) - 200(1 - x)^2 = 32$。
整理，得$25x^2 - 25x + 4 = 0$。
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = 0.8 = 80\%$。
当$x = 20\%$时，$200(1 - x)^2 = 200×(1 - 0.2)^2 = 128$（元），$128＞110$，符合题意；
当$x = 80\%$时，$200(1 - x)^2 = 200×(1 - 0.8)^2 = 8$（元），$8＜110$，不合题意，舍去。
$\therefore$每次降价的百分率是$20\%$。
答案：$20\%$

17. 如图,$ A O = B O = 50 \mathrm { cm } $,$ O C $是一条射线,$ O C \perp A B $. 若一只蚂蚁从点$ A $出发,以$ 2 \mathrm { cm } / \mathrm { s } 的速度向点 B $爬行,同时另一只蚂蚁从点$ O $出发,以$ 3 \mathrm { cm } / \mathrm { s } 的速度沿 O C $方向爬行,则出发后______s时两只蚂蚁与点$ O 组成的三角形的面积为 450 \mathrm { cm } ^ { 2 } $.

10或15或30

答案： 10或15或30 解析：设出发后$x s$时两只蚂蚁与点$O$组成的三角形的面积为$450 cm^{2}$. 分两种情况讨论：
① 当蚂蚁在$AO$上爬行时，$0＜2x＜50$，解得$0＜x＜25$. 由题意，得$\frac{1}{2}×3x(50 - 2x)=450$，解得$x_{1}=10,x_{2}=15$.
② 当蚂蚁在$OB$上爬行时，$50＜2x＜50 + 50$，解得$25＜x＜50$. 由题意，得$\frac{1}{2}×3x(2x - 50)=450$，解得$x_{3}=30,x_{4}=-5$（不合题意，舍去）. 综上所述，出发后$10 s$或$15 s$或$30 s$时两只蚂蚁与点$O$组成的三角形的面积为$450 cm^{2}$.

18. 已知两个关于$ x 的一元二次方程 x ^ { 2 } + a x + b = 0 $,$ x ^ { 2 } + c x + d = 0 $有一个公共根2,且$ a \neq c $,$ b \neq d $,$ b \neq 0 $,$ d \neq 0 $. 有下列结论：①$ \frac { c - a } { b - d } 有唯一对应的值 \frac { 1 } { 2 } $；②$ \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 4 } \leq b + d $；③$ x = \frac { 1 } { 2 } 是一元二次方程 ( b + d ) x ^ { 2 } + ( a + c ) x + 2 = 0 $的一个根. 其中,正确的是______(填序号).
①③

答案： 解：将$x = 2$分别代入两个方程，得：
$2^{2} + 2a + b = 0$，即$2a + b = -4$；
$2^{2} + 2c + d = 0$，即$2c + d = -4$。
① 两式相减：$2(c - a) + (d - b) = 0$，则$2(c - a) = b - d$，$\frac{c - a}{b - d} = \frac{1}{2}$，故①正确。
② 因为方程有实根，所以$a^{2} - 4b \geq 0$，$c^{2} - 4d \geq 0$。
两式相加：$a^{2} + c^{2} - 4(b + d) \geq 0$，即$\frac{a^{2} + c^{2}}{4} \geq b + d$，故②错误。
③ 将$x = \frac{1}{2}$代入$(b + d)x^{2} + (a + c)x + 2 = 0$：
左边$= (b + d)\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + (a + c)\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{b + d}{4} + \frac{a + c}{2} + 2$。
两边乘4：$b + d + 2(a + c) + 8 = (2a + b) + (2c + d) + 8$。
将$2a + b = -4$，$2c + d = -4$代入，得$-4 + (-4) + 8 = 0$，等式成立，故③正确。
综上，正确的是①③。
答案：①③

19. (12分)解下列方程：
(1)$ 2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0 $(用配方法)；
(2)$ ( y + 2 ) ( 2 y + 3 ) = 6 $；
(3)$ 3 x ^ { 2 } - ( x + 2 ) ^ { 2 } + 2 x = 3 x - 6 $.

答案：
(1)解：$\because 2x^{2}+4x + 1 = 0$，
$\therefore 2x^{2}+4x=-1$，
$\therefore x^{2}+2x=-\frac{1}{2}$，
$\therefore x^{2}+2x + 1=-\frac{1}{2}+1$，即$(x + 1)^{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore x + 1=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x=-1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_{1}=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_{2}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)解：$(y + 2)(2y + 3)=6$，
展开得$2y^{2}+3y + 4y + 6=6$，
$\therefore 2y^{2}+7y=0$，
$\therefore y(2y + 7)=0$，
$\therefore y = 0$或$2y + 7 = 0$，
$\therefore y_{1}=0,y_{2}=-\frac{7}{2}$.
(3)解：$3x^{2}-(x + 2)^{2}+2x=3x - 6$，
展开得$3x^{2}-(x^{2}+4x + 4)+2x=3x - 6$，
$\therefore 3x^{2}-x^{2}-4x - 4 + 2x - 3x + 6=0$，
$\therefore 2x^{2}-5x + 2=0$，
$\because a = 2,b=-5,c = 2$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×2=25 - 16=9$，
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{5\pm3}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{5 + 3}{4}=2,x_{2}=\frac{5 - 3}{4}=\frac{1}{2}$.

20. (8分)(南充中考)已知关于$ x 的一元二次方程 x ^ { 2 } + 3 x + k - 2 = 0 $有实数根.
(1)求实数$ k $的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$ x _ { 1 } $,$ x _ { 2 } $. 若$ ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) = - 1 $,求$ k $的值.

答案：
(1)解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = 3^{2}-4×1×(k - 2)\geq0$，
即$9 - 4k + 8\geq0$，
解得$k\leq\frac{17}{4}$.
(2)解：
∵方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=k - 2$.
∵$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，
∴展开得$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=-1$，
代入得$(k - 2)+(-3)+1=-1$，
即$k - 4=-1$，
解得$k = 3$.