《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 如图, 一次函数 $ y = \frac{3}{4}x + 6 $ 的图象与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ A $, $ B $, 过点 $ B $ 的直线 $ l $ 平分 $ \triangle ABO $ 的面积, 交 $ x $ 轴于点 $ C $, 则直线 $ l $ 对应的函数表达式为 (D)

A.$ y = \frac{1}{2}x + 6 $
B.$ y = 2x + 6 $
C.$ y = \frac{2}{3}x + 6 $
D.$ y = \frac{3}{2}x + 6 $

答案： D解析:
∵一次函数y=$\frac{3}{4}$x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,令y=0,得x=−8,令x=0,得y=6,
∴A(−8,0),B(0,6).
∵过点B的直线l平分△ABO的面积，
∴AC=OC.
∴C(−4,0).设直线l对应的函数表达式为y=kx+6.把C(−4,0)代入,得−4k+6=0,解得k=$\frac{3}{2}$.
∴直线l对应的函数表达式为y=$\frac{3}{2}$x+6.

2. 如图, 直线 $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ A $, $ B $, 点 $ P(m, 1) $ 在 $ \triangle AOB $ 的内部 (不含边界), 则 $ m $ 的值可能是____1(写出一个即可).

答案： 解：对于直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$，令$y=0$，则$0=-\frac{3}{2}x + 3$，解得$x=2$，所以$A(2,0)$；令$x=0$，得$y=3$，所以$B(0,3)$。
因为点$P(m,1)$在$\triangle AOB$内部（不含边界），所以$m＞0$，且点$P$在直线$AB$下方，即$1＜-\frac{3}{2}m + 3$，解得$m＜\frac{4}{3}$。
综上，$0＜m＜\frac{4}{3}$，$m$的值可能是$1$。
答案：1

3. 如图, 过点 $ A(2, 0) $ 作 $ x $ 轴的垂线, 与正比例函数 $ y = x $ 和 $ y = 3x $ 的图象分别交于点 $ B $, $ C $, 则 $ \triangle OCB $ 的面积为4.

答案： 1. 首先求$B$，$C$两点的坐标：
已知$AB\perp x$轴，点$A$的坐标为$(2,0)$，对于$y = x$，当$x = 2$时，把$x = 2$代入$y=x$，根据$y=x$的函数关系$y = 2$，所以$B(2,2)$；
对于$y = 3x$，当$x = 2$时，把$x = 2$代入$y = 3x$，根据$y = 3x$的函数关系$y=3×2 = 6$，所以$C(2,6)$。
2. 然后求$BC$的长度：
根据两点纵坐标相减求线段长度（因为$B$，$C$横坐标相同），$BC=y_{C}-y_{B}$（$y_{C}$是$C$点纵坐标，$y_{B}$是$B$点纵坐标）。
所以$BC=6 - 2=4$。
3. 最后求$\triangle OCB$的面积：
因为$OA$是$\triangle OCB$中$BC$边上的高，$OA = 2$（$A$点横坐标的绝对值），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = BC$，$h = OA$）。
由$S_{\triangle OCB}=\frac{1}{2}× BC× OA$，把$BC = 4$，$OA = 2$代入公式，得$S_{\triangle OCB}=\frac{1}{2}×4×2$。
计算$\frac{1}{2}×4×2=4$。
故$\triangle OCB$的面积为$4$。

4. 如图, 直线 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $ 相交于点 $ A(-2, 0) $, 与 $ y $ 轴分别交于点 $ B $, $ C $, 且与 $ y $ 轴围成的 $ \triangle ABC $ 的面积为 4, 则 $ b_1 - b_2 $ 的值为____.4

答案： 解：
∵直线 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ B $，
∴点 $ B $ 坐标为 $ (0, b_1) $。
∵直线 $ y = k_2x + b_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $，
∴点 $ C $ 坐标为 $ (0, b_2) $。
∴ $ BC = |b_1 - b_2| $。
∵两直线交于点 $ A(-2, 0) $，
∴点 $ A $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ |-2| = 2 $。
∵ $ \triangle ABC $ 的面积为 4，
∴ $ \frac{1}{2} × BC × 2 = 4 $，
即 $ \frac{1}{2} × |b_1 - b_2| × 2 = 4 $，
化简得 $ |b_1 - b_2| = 4 $。
由图可知 $ b_1 ＞ 0 $，$ b_2 ＜ 0 $，
∴ $ b_1 - b_2 = 4 $。
答案：4

5. 如图, 直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y = -\frac{4}{3}x + b $, 它与两坐标轴分别交于 $ A $, $ B $ 两点, 其中点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 4) $.
(1) 求点 $ A $ 的坐标.
(2) 动点 $ C $ 从 $ y $ 轴上的点 $ (0, 10) $ 出发, 以每秒 1 个单位的速度向 $ y $ 轴的负半轴运动, 连结 $ AC $. 当 $ \triangle ABC $ 为轴对称图形时, 求点 $ C $ 运动的时间.

答案：
(1)解：将点$B(0,4)$代入$y = -\frac{4}{3}x + b$，得$4 = -\frac{4}{3}×0 + b$，解得$b = 4$，所以直线$l$的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$。令$y = 0$，则$0 = -\frac{4}{3}x + 4$，解得$x = 3$，故点$A$的坐标为$(3,0)$。
(2)解：因为$\triangle ABC$为轴对称图形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，则$OA = 3$，$OB = 4$，$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。分情况讨论：
情况一：当$AB = BC = 5$时，
- 若点$C$在点$B$上方，$OC = OB + BC = 4 + 5 = 9$，点$C$坐标为$(0,9)$，运动时间为$(10 - 9)÷1 = 1$秒；
- 若点$C$在点$B$下方，$OC = BC - OB = 5 - 4 = 1$，点$C$坐标为$(0,-1)$，运动时间为$(10 + 1)÷1 = 11$秒。
情况二：当$AB = AC = 5$时，点$C$坐标为$(0,-4)$，运动时间为$[10 - (-4)]÷1 = 14$秒。
情况三：当$AC = BC$时，设$AC = BC = a$，则$OC = 4 - a$。在$Rt\triangle ACO$中，$OA^{2}+OC^{2}=AC^{2}$，即$3^{2}+(4 - a)^{2}=a^{2}$，解得$a=\frac{25}{8}$，$OC = 4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$，点$C$坐标为$(0,\frac{7}{8})$，运动时间为$(10-\frac{7}{8})÷1=\frac{73}{8}$秒。
综上，点$C$运动的时间为$1$秒或$11$秒或$14$秒或$\frac{73}{8}$秒。