《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

4. 如图,在等边三角形$ABC$中,$P为边AB$上的一点,$Q为边AC$上的一点,且$AP = CQ$,$M是线段PQ$的中点,连结$AM$,$PC$。若$AM = 19\mathrm{cm}$,则$PC = $______$\mathrm{cm}$。

答案：
解：延长AM至点N，使MN=AM，连接QN。
∵M是PQ中点，
∴PM=QM。
在△APM和△NQM中，
$\left\{\begin{array}{l} AM=NM\\ ∠AMP=∠NMQ\\ PM=QM\end{array}\right.$
∴△APM≌△NQM(SAS)，
∴AP=QN，∠PAM=∠QNM，
∴AP//QN。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°。
∵AP=CQ，AP=QN，
∴QN=CQ。
∵AP//QN，
∴∠BAC=∠AQN=60°，
∴∠NQC=180°-∠AQN=120°。
∵∠ACB=60°，
∴∠QCN=180°-∠ACB=120°，
∴∠NQC=∠QCN。
在△NQC和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l} QN=CQ\\ ∠NQC=∠QCN\\ QC=CQ\end{array}\right.$（此处修正：应为△NQC和△PCQ对应关系错误，正确为△NQC和△PCQ中QC为公共边，条件应为QN=CQ，∠NQC=∠QCP=120°，QC=CQ，故△NQC≌△PCQ(SAS)）
∴NC=PC。
∵AN=AM+MN=2AM=38cm，且AN=NC，
∴PC=AN=38cm。
38

5. 如图,分别以$\triangle ABC的边AB$,$AC为边向\triangle ABC外作正方形ABEF和正方形ACNM$,$D是BC$的中点,连结$AD$,$FM$。
(1) 求证：$FM = 2AD$；
(2) 若$AB = 6$,$AC = 8$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,求多边形$BCNMFE$的面积。

答案：

(1) 证明：延长AD至点K，使DK=AD，连结BK，CK。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。又
∵AD=DK，
∴四边形ABKC是平行四边形。
∴CK=AB，∠BAC+∠KCA=180°。
∵四边形ABEF，ACNM都是正方形，
∴AF=AB，AM=AC，∠BAF=∠CAM=90°。
∴AF=CK，∠BAC+∠FAM=360°-∠BAF-∠CAM=180°。
∴∠FAM=∠KCA。
在△MAF和△ACK中，
$\left\{\begin{array}{l} AF=CK \\ ∠FAM=∠KCA \\ AM=CA \end{array}\right.$
∴△MAF≌△ACK(SAS)。
∴FM=KA。
∵KA=AD+DK=2AD，
∴FM=2AD。
(2) 解：过点B作BH⊥AC于点H。
在Rt△ABH中，∠BAH=60°，
∴∠ABH=30°。
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=3。
由勾股定理，得BH=$\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BH=$\frac{1}{2}×8×3\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
由
(1)，△MAF≌△ACK，
∴S_△MAF=S_△ACK=S_△ABC=12$\sqrt{3}$。
多边形BCNMFE的面积=S_△ABC+S_{正方形ABEF}+S_△MAF+S_{正方形ACNM}
=12$\sqrt{3}$+6×6+12$\sqrt{3}$+8×8=24$\sqrt{3}$+100。

6. 如图,$P为矩形ABCD$内一点,且$PA = 4$,$PB = 1$,$PC = 5$,求$PD$的长。

答案：
解：过点P作PE⊥AD于点E，延长EP交BC于点F。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°。
∵PE⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=90°，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形，
∴AE=BF，DE=FC。
由勾股定理得：
AE² + PE² = PA²，
PE² + DE² = PD²，
BF² + PF² = PB²，
FC² + PF² = PC²。
∴PA² + PC² = AE² + PE² + FC² + PF²，
PB² + PD² = BF² + PF² + DE² + PE²。
∵AE=BF，DE=FC，
∴PA² + PC² = PB² + PD²。
∵PA=4，PB=1，PC=5，
∴4² + 5² = 1² + PD²，
即16 + 25 = 1 + PD²，
41 = 1 + PD²，
PD²=40，
PD=2$\sqrt {10}$。
答：PD的长为2$\sqrt {10}$。

7. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = CD$。求证：$AB + BC = \sqrt{2}BD$。

答案：
解：过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
因为$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以四边形$EBFD$是矩形。
又因为$\angle EAD+\angle DAB = 180^{\circ}$，$\angle DAB+\angle BCD=360^{\circ}-\angle ABC-\angle ADC=180^{\circ}$，所以$\angle EAD=\angle FCD$。
已知$AD = CD$，$\angle AED=\angle CFD = 90^{\circ}$，根据$AAS$（角角边）可得$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
所以$DE=DF$，$AE = CF$。
因为$DE=DF$，四边形$EBFD$是矩形，所以矩形$EBFD$是正方形，则$EB=BF = DF=DE$。
$AB + BC=(EB - AE)+(BF + FC)=EB+BF$。
在正方形$EBFD$中，$BD=\sqrt{2}EB$（正方形对角线与边长关系：设边长为$a$，对角线$l=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$），且$EB + BF = 2EB$（因为$EB=BF$）
所以$AB + BC=\sqrt{2}BD$。