《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

典例 3
已知一抛物线形大门,其地面宽度 $ AB = 18m $。一名同学站在大门内,在离点 $ B $ 处 $ 1m $ 远的点 $ D $ 处,垂直地面立起一根 $ 1.7m $ 长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形大门上的点 $ C $ 处。建立如图所示的平面直角坐标系。求：
(1) 大门所在抛物线对应的函数表达式；
(2) 大门的高度 $ h $。

点拨 (1) 设大门所在抛物线对应的函数表达式为 $ y = ax^{2}+bx(a\neq0) $,依题意把 $ B $,$ C $ 两点的坐标代入,就可以求出 $ a $,$ b $ 的值,从而求得抛物线对应的函数表达式。(2) 把函数表达式进行配方,可得顶点坐标,根据顶点坐标可得大门的高度 $ h $。
解答：
解有所悟：二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象过原点,说明 $ c = 0 $,再知其图象上任意两点的坐标,运用待定系数法可求得其函数表达式。对于实际问题,要能将问题中的有关数据转化为图象上点的坐标,这是解题的关键。

答案：
(1) 由题意，抛物线过原点，点 $ A(0, 0) $，$ B(18, 0) $，点 $ D $ 在离 $ B $ 处 $ 1m $ 远，故 $ D(17, 0) $，木杆顶端 $ C(17, 1.7) $。设抛物线表达式为 $ y = ax^2 + bx(a \neq 0) $，将 $ B(18, 0) $，$ C(17, 1.7) $ 代入得：
$\begin{cases}18^2a + 18b = 0 \\17^2a + 17b = 1.7\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -0.1 \\b = 1.8\end{cases}$
$\therefore$ 函数表达式为 $ y = -0.1x^2 + 1.8x $。
(2) $ y = -0.1x^2 + 1.8x = -0.1(x - 9)^2 + 8.1 $，顶点坐标为 $ (9, 8.1) $，$\therefore$ 大门高度 $ h = 8.1m $。

1. 对于二次函数 $ y = x^{2}-2x + 3 $ 的图象,下列说法正确的是 (C)
A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = -1 $
C.顶点坐标是 $ (1,2) $
D.经过坐标原点

答案： 解：对于二次函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $，
- 因为二次项系数 $ a = 1 ＞ 0 $，所以抛物线开口向上，A错误；
- 对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×1} = 1 $，B错误；
- 将 $ x = 1 $ 代入函数得 $ y = 1^2 - 2×1 + 3 = 2 $，顶点坐标是 $ (1, 2) $，C正确；
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 - 0 + 3 = 3 \neq 0 $，不经过原点，D错误。
答案：C

2. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $,且 $ a - b + c = 0 $,则二次函数的图象一定经过点 (B)
A.$ (1,0) $
B.$ (-1,0) $
C.$ (0,-1) $
D.$ (0,1) $

答案： 解：当$x=-1$时，$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$。
已知$a - b + c = 0$，则当$x=-1$时，$y=0$。
所以二次函数的图象一定经过点$(-1,0)$。
答案：B

3. 将二次函数 $ y = x^{2}+2x - 1 $ 的图象沿 $ x $ 轴向右平移 $ 2 $ 个单位,得到的图象对应的函数表达式为 (D)
A.$ y= (x + 3)^{2}-2 $
B.$ y= (x + 3)^{2}+2 $
C.$ y= (x - 1)^{2}+2 $
D.$ y= (x - 1)^{2}-2 $

答案： 解：将二次函数 $ y = x^2 + 2x - 1 $ 化为顶点式：
$ y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 1 = (x + 1)^2 - 2 $，
其顶点坐标为 $(-1, -2)$。
沿 $ x $ 轴向右平移 $ 2 $ 个单位后，顶点坐标变为 $(-1 + 2, -2) = (1, -2)$。
平移后函数表达式为 $ y = (x - 1)^2 - 2 $。
答案：D

4. 若抛物线 $ y = 2x^{2}-bx + 3 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,则 $ b $ 的值为4。

答案： 解：对于抛物线$y = ax^2+bx + c$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y = 2x^2 - bx + 3$中，$a = 2$，对称轴是直线$x = 1$，则有：
$-\frac{-b}{2×2}=1$
$\frac{b}{4}=1$
$b = 4$
4

5. (广州中考) 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 经过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-5) $,则当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 的值为-5。

答案： 解：
∵抛物线$y = ax^{2}+bx + c$经过点$(-1,0)$，$(3,0)$，
∴设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$。
∵抛物线与$y$轴交于点$(0,-5)$，
∴将$(0,-5)$代入$y = a(x + 1)(x - 3)$，得$-5 = a(0 + 1)(0 - 3)$，
即$-5 = -3a$，解得$a=\dfrac{5}{3}$。
∴抛物线的解析式为$y=\dfrac{5}{3}(x + 1)(x - 3)$。
当$x = 2$时，$y=\dfrac{5}{3}(2 + 1)(2 - 3)=\dfrac{5}{3}×3×(-1)=-5$。
$-5$

6. 如图所示为足球守门员在点 $ O $ 处扔出一记手抛高球后,足球在空中运动至落地的过程,它是经过 $ A $,$ M $,$ C $ 三点的抛物线的一部分。其中点 $ A $ 离地面 $ 1.4m $,$ M $ 是足球运动过程中的最高点,离地面 $ 3.2m $,离守门员的水平距离为 $ 6m $,$ C $ 是足球落地时的第一点,则点 $ C $ 与守门员的水平距离为______ $ m $。

14

答案： 解：以点O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,1.4)，M(6,3.2)。设抛物线解析式为$y=a(x-6)^2+3.2$。
将A(0,1.4)代入得：$1.4=a(0-6)^2+3.2$，解得$a=-\frac{1}{20}$。
故抛物线解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-6)^2+3.2$。
令$y=0$，则$0=-\frac{1}{20}(x-6)^2+3.2$，
整理得$(x-6)^2=64$，解得$x_1=14$，$x_2=-2$（舍去）。
所以点C与守门员的水平距离为14m。
答案：14

7. 已知抛物线 $ y = 2x^{2}+bx + c $ 经过 $ A(-5,m) $,$ B(3,m) $,$ C(-2,5) $ 三点。
(1) 求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2) 将抛物线平移,使顶点落在点 $ C $ 处,请写出平移方式及平移后抛物线对应的函数表达式。

答案：
(1) 解：
∵抛物线$y = 2x^2 + bx + c$经过$A(-5, m)$，$B(3, m)$，且$A$，$B$两点纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线$x = \frac{-5 + 3}{2} = -1$。
∵对称轴$x = -\frac{b}{2×2} = -1$，
∴解得$b = 4$，则$y = 2x^2 + 4x + c$。
把$C(-2, 5)$代入$y = 2x^2 + 4x + c$，得$2×(-2)^2 + 4×(-2) + c = 5$，
即$8 - 8 + c = 5$，解得$c = 5$。
∴抛物线对应的函数表达式为$y = 2x^2 + 4x + 5$。
∵$y = 2x^2 + 4x + 5 = 2(x + 1)^2 + 3$，
∴顶点坐标为$(-1, 3)$。
(2) 解：
∵原抛物线顶点坐标为$(-1, 3)$，点$C(-2, 5)$，
∴平移方式为：向左平移$1$个单位，向上平移$2$个单位。
平移后抛物线对应的函数表达式为$y = 2(x + 2)^2 + 5$。