《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

典例 3 已知某二次函数的图象经过点 $(-3,0)$, $(1,0)$, $(-1,-4)$.
(1) 求该二次函数的表达式;
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3) 当 $-4\lt x\lt - 2$ 时, 直接写出 $y$ 的取值范围.

点拨 (1) 由于已知二次函数的图象与 $x$ 轴的交点的坐标, 则可设二次函数的交点式为 $y = a(x + 3)(x - 1)$, 然后把 $(-1,-4)$ 代入求出 $a$ 的值即可. (2) 列表、描点、连线, 画出函数图象即可. (3) 利用数形结合观察图象即可.
解答
解有所悟 (1) 若已知二次函数的图象与 $x$ 轴的交点的坐标为 $(x_{1},0)$, $(x_{2},0)$, 或给出函数值为 $0$ 时的两个自变量的值, 另外给出一个点的坐标, 然后就可以设二次函数的表达式为 $y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$, 将已知条件代入, 求出 $a$ 的值, 则就可以求出二次函数的表达式, 最后再化为一般形式. (2) 关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+bx + c\gt0$ (或 $\lt0$) 的解集就是二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象在 $x$ 轴上(下)方的点所对应的 $x$ 的取值范围. 如果不等式带有等号, 那么其解集也相应带有等号.

答案：

(1) 设该二次函数的表达式为 $y=a(x+3)(x-1)$. 把 $(-1,-4)$ 代入 $y=a(x+3)(x-1)$, 得 $-4 a=-4$, 解得 $a=1$. $\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=(x+3)(x-1)$, 即 $y=x^{2}+2 x-3$.
(2) 列表:

描点、连线, 画出函数图象如图所示.
(3) 由图象, 可知当 $-4＜x＜-2$ 时, $-3＜y＜5$.

1. 下表是二次函数 $y = x^{2}+5x - 3$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的部分对应值(精确到 $0.01$):
| $x$ | $0.00$ | $0.25$ | $0.50$ | $0.75$ | $1.00$ |
| $y$ | $-3.00$ | $-1.69$ | $-0.25$ | $1.31$ | $3.00$ |
则方程 $x^{2}+5x - 3 = 0$ 的一个解 $x$ 的取值范围是 (C)
A.$0.00\lt x\lt0.25$
B.$0.25\lt x\lt0.50$
C.$0.50\lt x\lt0.75$
D.$0.75\lt x\lt1.00$

答案： 当$x = 0.50$时，$y=-0.25$；当$x = 0.75$时，$y=1.31$。因为二次函数$y = x^{2}+5x - 3$的图像是连续的抛物线，且当$x = 0.50$时，$y\lt0$，当$x = 0.75$时，$y\gt0$，所以函数图像在$0.50\lt x\lt0.75$范围内与$x$轴必有一个交点，即方程$x^{2}+5x - 3 = 0$的一个解$x$的取值范围是$0.50\lt x\lt0.75$。
C

2. 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的部分图象如图所示, 下列说法中, 错误的是 ( D )

A.$a\lt0$, $b\gt0$
B.$b^{2}-4ac\gt0$
C.方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的解是 $x_{1}= 5$, $x_{2}= -1$
D.不等式 $ax^{2}+bx + c\gt0$ 的解集是 $0\lt x\lt5$

答案： 解：
A. 抛物线开口向下，$a＜0$；对称轴$x=2＞0$，$-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＞0$，A正确。
B. 抛物线与x轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，B正确。
C. 抛物线与x轴交于$(5,0)$，对称轴$x=2$，另一交点为$(-1,0)$，方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=5$，$x_2=-1$，C正确。
D. 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜5$，D错误。
答案：D

3. 从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 $h(\mathrm{m})$ 与小球的运动时间 $t(\mathrm{s})$ 之间的函数关系如图所示, 有下列结论: ① 小球在空中经过的路程是 $40\mathrm{m}$; ② 小球抛出 $3\mathrm{s}$ 后, 速度越来越快; ③ 小球抛出 $3\mathrm{s}$ 时的速度为 $0\mathrm{m}/\mathrm{s}$; ④ 当小球的高度为 $30\mathrm{m}$ 时, $t = 1.5$. 其中, 正确的是 (C)

A.①④
B.①②
C.②③
D.②③④

答案： C 解析: 由图象, 知小球在空中达到的最大高度是 $40 \mathrm{~m}$, 故
(1) 错误. 小球抛出 $3 \mathrm{~s}$ 后从最高处下坠, 速度越来越快, 故
(2) 正确. 小球抛出 $3 \mathrm{~s}$ 时达到最高点, 速度为 $0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 故
(3) 正确. 由抛物线的顶点坐标为 $(3,40)$, 设抛物线对应的函数表达式为 $h=a(t-3)^{2}+40$. 把 $(0,0)$ 代入, 得 $0=a(0-3)^{2}+40$, 解得 $a=-\frac{40}{9} . \therefore h=-\frac{40}{9}(t-3)^{2}+40$. 当 $h=30$ 时, $30=-\frac{40}{9}(t-3)^{2}+40$, 解得 $t=4.5$ 或 $t=1.5$. $\therefore$ 当小球的高度为 $30 \mathrm{~m}$ 时, $t=1.5$ 或 4.5. 故
(4) 错误. 综上所述, 正确的是
(2)
(3).