《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F是对角线AC$上的两点,且$AE = CF$。若$EF = 2AE = 2$,$\angle ACB = 45^{\circ}$,且$BE\perp AC$,求$□ ABCD$的面积。

答案：
解：连接BD,交AC于O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵EF=2AE=2，
∴AE=1，EF=2，CF=1，
∴AC=AE+EF+CF=1+2+1=4，CE=CF+EF=1+2=3。
∵∠ACB=45°，BE⊥AC，
∴∠CBE=∠ACB=45°，
∴BE=CE=3。
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BE=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_□ABCD=2S_△ABC=2×6=12。
答：□ABCD的面积为12。

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BCD = 2\angle BAD$,$O是四边形ABCD$内一点,且$OA = OB = OD$。
(1) 求证：$\angle BOD = \angle BCD$；
(2) 若$BC = CD$,求证：四边形$OBCD$是菱形。

答案：

(1) 证明：延长AO到点E。
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO。
∵∠BOE=∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE=2∠BAO。
同理，∠DOE=2∠DAO。
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO)=2∠BAD。
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BCD。
(2) 证明：连结OC。
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC(SSS)。
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO。
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC=1/2∠BOD，∠BCO=1/2∠BCD。
∵∠BOD=∠BCD，
∴∠BOC=∠BCO。
∴BO=BC。
∵OB=OD，BC=CD，
∴OB=BC=CD=DO。
∴四边形OBCD是菱形。

3. 如图,正方形$ABCD的边长为2$,点$E$,$F分别在边AD$,$CD$上。若$\angle EBF = 45^{\circ}$,求$\triangle EDF$的周长。

答案：
解：延长DC至点G，使CG=AE，连结BG。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠BCG=90°，即∠A=∠BCG。
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠A=∠BCG \\ AE=CG \end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴BE=BG，∠EBA=∠GBC。
∵∠EBA+∠EBC=∠GBC+∠EBC，
∴∠ABC=∠EBG=90°。
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=∠EBG-∠EBF=45°，即∠GBF=∠EBF。
在△FBG和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l} BF=BF \\ ∠GBF=∠EBF \\ BG=BE \end{array}\right.$
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG=FE。
∵FG=CF+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE。
△EDF的周长=DF+DE+EF=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4。
答：△EDF的周长为4。