《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 已知二次函数的图象 $ ( 0 \leq x \leq 3 ) $ 如图所示,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法中,正确的是(C)
A.函数有最小值 $ 1 $,有最大值 $ 3 $
B.函数有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 0 $
C.函数有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 3 $
D.函数有最小值 $ - 1 $,无最大值

答案： 解：由函数图象可知，在$0 \leq x \leq 3$范围内，函数的最低点坐标为$(1, -1)$，最高点坐标为$(3, 3)$。
因此，函数有最小值$-1$，有最大值$3$。
答案：C

2. 如图,某学校拟建一个矩形花圃,打算一边利用学校现有的墙(墙足够长),其余三边除门外用栅栏围成,栅栏的总长度为 $ 50 \mathrm { m } $,门的宽为 $ 2 \mathrm { m } $. 这个矩形花圃的最大面积是(C)
A.$ 169 \mathrm { m } ^ { 2 } $
B.$ 288 \mathrm { m } ^ { 2 } $
C.$ 338 \mathrm { m } ^ { 2 } $
D.$ 312.5 \mathrm { m } ^ { 2 } $

答案： 解：设垂直于墙的一边长为 $ x \, \text{m} $，则平行于墙的一边长为 $ (50 + 2 - 2x) \, \text{m} $，即 $ (52 - 2x) \, \text{m} $。
矩形花圃面积 $ S = x(52 - 2x) = -2x^2 + 52x $。
对于二次函数 $ S = -2x^2 + 52x $，其中 $ a = -2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为 $ x = -\frac{52}{2 × (-2)} = 13 $。
当 $ x = 13 $ 时，$ S_{\text{max}} = -2 × 13^2 + 52 × 13 = -338 + 676 = 338 \, \text{m}^2 $。
答案：C

3. 函数 $ y = - x ^ { 2 } - 2 x + 3 ( - 2 \leq x \leq 2 ) $ 的最大值是4,最小值是-5.

答案： 解：
$y = -x^2 - 2x + 3 = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x+1)^2 + 4$，
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
当$x=-1$时，$y_{\text{max}} = 4$；
当$x=2$时，$y = -(2)^2 - 2×2 + 3 = -4 - 4 + 3 = -5$；
当$x=-2$时，$y = -(-2)^2 - 2×(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$。
综上，最大值是$4$，最小值是$-5$。
答案：$4$；$-5$

4. 在治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地. 如图,自建房的占地是边长为 $ 20 \mathrm { m } $ 的正方形 $ A B C D $,改建后的绿地是矩形 $ A E F G $,其中点 $ E $ 在 $ A B $ 上,点 $ G $ 在 $ A D $ 的延长线上,且 $ D G = 2 B E $. 若设 $ B E $ 的长为 $ x \mathrm { m } $,绿地(矩形 $ A E F G $)的面积为 $ y \mathrm { m } ^ { 2 } $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为$y = -2x^2 + 20x + 400\ (0 ＜ x ＜ 20)$,绿地(矩形 $ A E F G $)的最大面积为$450$ $ \mathrm { m } ^ { 2 } $.

答案： 解：
∵正方形 $ABCD$ 边长为 $20\,\text{m}$，$BE = x\,\text{m}$，
∴ $AE = AB - BE = (20 - x)\,\text{m}$。
∵ $DG = 2BE$，
∴ $DG = 2x\,\text{m}$，
∴ $AG = AD + DG = (20 + 2x)\,\text{m}$。
矩形 $AEFG$ 的面积 $y = AE \cdot AG$，
即 $y = (20 - x)(20 + 2x)$
$= -2x^2 + 20x + 400$，
其中 $0 ＜ x ＜ 20$。
∵ $y = -2x^2 + 20x + 400 = -2(x - 5)^2 + 450$，
∴ 当 $x = 5$ 时，$y$ 有最大值 $450\,\text{m}^2$。
① $y = -2x^2 + 20x + 400\ (0 ＜ x ＜ 20)$；② $450$

5. 如图,牧民老张想利用一面旧墙(足够长)及 $ 24 \mathrm { m } $ 长的旧木料建造 $ 3 $ 间羊舍(旧木料全部用完),$ 3 $ 间羊舍的平面图是一排大小相等的矩形.
(1) 设羊舍的一边 $ A B $ 的长为 $ x \mathrm { m } $,羊舍的总面积为 $ S \mathrm { m } ^ { 2 } $,求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并直接写出自变量的取值范围.
(2) 当 $ A B $ 的长为多少米时,羊舍的总面积最大？最大总面积为多少？

答案： （1）
∵ $ AB = x \, \text{m} $，
∴ $ BC = (24 - 4x) \, \text{m} $。
∴ $ S = x(24 - 4x) = -4x^2 + 24x $。
∵ $ \begin{cases} x ＞ 0, \\ 24 - 4x ＞ 0, \end{cases} $
∴ $ 0 ＜ x ＜ 6 $。
∴ $ S = -4x^2 + 24x \, (0 ＜ x ＜ 6) $。
（2）$ S = -4x^2 + 24x = -4(x - 3)^2 + 36 $。
∵ $ a = -4 ＜ 0 $，$ 0 ＜ x ＜ 6 $，
∴ 当 $ x = 3 $ 时，$ S $ 取得最大值 $ 36 $。
即当 $ AB $ 的长为 $ 3 \, \text{m} $ 时，羊舍的总面积最大，最大总面积为 $ 36 \, \text{m}^2 $。

6. 有一扇窗户的形状如图所示,上部是由两个正方形组成的矩形,下部是一个矩形,制作窗框的材料总长为 $ 6 \mathrm { m } $(窗框面积忽略不计).
(1) 若 $ A B $ 的长为 $ 1 \mathrm { m } $,求此时窗户的透光面积.
(2) 如何设计这扇窗户,才能使窗户的透光面积最大？请通过计算说明.

答案：  
（1）解：由题意，$ AB = 1m $，上部正方形边长 $ \frac{1}{2}m $。材料总长 $ 6 = 3×1 + 2×(\frac{1}{2} + AD) $，解得 $ AD = \frac{5}{4}m $。面积 $ S = 1×\frac{5}{4} = \frac{5}{4}m^2 $。
（2）解：设 $ AB = xm $，则 $ AD = 3 - \frac{7}{4}x $，$ 0 ＜ x ＜ \frac{12}{7} $。$ S = x(3 - \frac{7}{4}x) = - \frac{7}{4}(x - \frac{6}{7})^2 + \frac{9}{7} $。当 $ x = \frac{6}{7}m $ 时，$ S_{最大} = \frac{9}{7}m^2 $，此时 $ AD = \frac{3}{2}m $，上部正方形边长 $ \frac{3}{7}m $。
答：（1）透光面积为 $ \frac{5}{4}m^2 $；（2）当 $ AB = \frac{6}{7}m $，$ AD = \frac{3}{2}m $，上部正方形边长 $ \frac{3}{7}m $ 时，透光面积最大。