《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

11. (包头中考)若代数式$\sqrt {x+1}+\frac {1}{x}$在实数范围内有意义,则x的取值范围是$x \geq -1$且$x \neq 0$.

答案： 要使代数式$\sqrt{x + 1} + \frac{1}{x}$在实数范围内有意义，需满足：
1. 二次根式$\sqrt{x + 1}$有意义，则$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$；
2. 分式$\frac{1}{x}$有意义，则$x \neq 0$。
综上，$x$的取值范围是$x \geq -1$且$x \neq 0$。
$x \geq -1$且$x \neq 0$

12. (贺州中考)若实数m,n满足$|m-n-5|+\sqrt {2m+n-4}= 0$,则$3m+n= $7.

答案： 解：因为$|m - n - 5| + \sqrt{2m + n - 4} = 0$，且$|m - n - 5| \geq 0$，$\sqrt{2m + n - 4} \geq 0$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m - n - 5 = 0 \\2m + n - 4 = 0\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得$m = n + 5$，将其代入第二个方程：
$2(n + 5) + n - 4 = 0$
$2n + 10 + n - 4 = 0$
$3n + 6 = 0$
$3n = -6$
$n = -2$
则$m = -2 + 5 = 3$
所以$3m + n = 3×3 + (-2) = 9 - 2 = 7$
7

13. (哈尔滨中考)计算$\sqrt {3}+3\sqrt {\frac {1}{3}}$的结果是$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

14. 已知$a= \sqrt {2}+1,b= \sqrt {2}-1$,则$a^{3}b-ab^{3}= $$4\sqrt{2}$.

答案： $4\sqrt{2}$

15. 在如图所示的网格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格处的实数之积为$6\sqrt{2}$.

答案： 设第一行中间的数为$a$，第二行中间的数为$b$，第三行第一个数为$c$。
先求每行、每列、每条对角线上三个数的乘积$k$。
根据第三列：$\sqrt{3} × 6 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$，所以$k = 6\sqrt{6}$。
第一行：$3\sqrt{2} × a × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$，即$3\sqrt{6}a = 6\sqrt{6}$，解得$a = 2$。
第三行：$c × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$，即$3\sqrt{2}c = 6\sqrt{6}$，解得$c = 2\sqrt{3}$。
第二行：$1 × b × 6 = 6\sqrt{6}$，即$6b = 6\sqrt{6}$，解得$b = \sqrt{6}$。
空格处为$a$和$b$（或$a$和$c$，根据网格图应为第一行中间和第二行中间，此处按计算结果$a=2$，$b=\sqrt{6}$），则两空格之积为$2 × \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$？（注：原参考答案为$6\sqrt{2}$，可能空格判断为$c$和$b$，$c=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$，则$2\sqrt{3} × \sqrt{6} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$，符合参考答案，故空格为第三行第一个和第二行中间）
两空格之积为$6\sqrt{2}$。
$6\sqrt{2}$

16. 按如图所示的程序计算,若开始输入n的值为$\sqrt {2}$,则最后输出的结果为$8 + 5\sqrt{2}$.

答案： 当$n = \sqrt{2}$时，计算$n(n + 1)$：
$\begin{aligned}n(n + 1)&=\sqrt{2}×(\sqrt{2} + 1)\\&=(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}×1\\&=2 + \sqrt{2}\end{aligned}$
因为$2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414 ＜ 15$，所以不输出，将$n$更新为$2 + \sqrt{2}$。
当$n = 2 + \sqrt{2}$时，计算$n(n + 1)$：
$\begin{aligned}n(n + 1)&=(2 + \sqrt{2})×(2 + \sqrt{2} + 1)\\&=(2 + \sqrt{2})×(3 + \sqrt{2})\\&=2×3 + 2×\sqrt{2} + 3×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\\&=(6 + 2) + (2\sqrt{2} + 3\sqrt{2})\\&=8 + 5\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$8 + 5\sqrt{2} \approx 8 + 5×1.414 = 8 + 7.07 = 15.07 ＞ 15$，所以输出结果。
最后输出的结果为$8 + 5\sqrt{2}$。

17. ★已知实数a满足$|2020-a|+\sqrt {a-2021}= a$,则$a-2020^{2}+1$的值是____2022.

答案： 解：由二次根式有意义的条件，得$a - 2021 \geq 0$，解得$a \geq 2021$。
因为$a \geq 2021$，所以$|2020 - a| = a - 2020$，原方程可化为：
$a - 2020 + \sqrt{a - 2021} = a$
整理，得$\sqrt{a - 2021} = 2020$
两边平方，得$a - 2021 = 2020^2$
所以$a - 2020^2 = 2021$
则$a - 2020^2 + 1 = 2021 + 1 = 2022$
答案：2022

18. ★在$△ABC$中,$AB= 2AC$.若边AB上的高线的长为$\sqrt {3},△ABC的面积为2\sqrt {3}$,则边BC的长为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$.

答案： 1. 首先根据三角形面积公式求$AB$的长度：
已知三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底上的高），在$\triangle ABC$中，设$AB$为底，$AB$边上的高$h=\sqrt{3}$，$S = 2\sqrt{3}$。
由$S=\frac{1}{2}AB×\sqrt{3}$，且$S = 2\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}AB×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
解方程：
两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{1}{2}AB = 2$，所以$AB = 4$。
2. 然后求$AC$的长度：
因为$AB = 2AC$，$AB = 4$，所以$AC=\frac{AB}{2}=2$。
3. 接着分情况讨论$\angle A$的情况：
设$AB$边上的高为$CD$，$CD=\sqrt{3}$。
（1）当$\angle A$为锐角时：
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$（$AC = 2$，$CD=\sqrt{3}$）。
则$AD=\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1$。
所以$BD=AB - AD$，$AB = 4$，$AD = 1$，则$BD = 4 - 1=3$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$（$BD = 3$，$CD=\sqrt{3}$）。
所以$BC=\sqrt{3^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{9 + 3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
（2）当$\angle A$为钝角时：
在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}} = 1$。
所以$BD=AB + AD$，$AB = 4$，$AD = 1$，则$BD = 4+1 = 5$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$（$BD = 5$，$CD=\sqrt{3}$）。
所以$BC=\sqrt{5^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{25 + 3}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
综上，边$BC$的长为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$。

19. (12分)计算:
(1)$\sqrt {32}÷\sqrt {2}-\sqrt {\frac {1}{3}}×\sqrt {18}+\sqrt {54};$
(2)$\sqrt {5}×(\sqrt {5}-\sqrt {15})+(\sqrt {15}+2\sqrt {3})×(\sqrt {15}-2\sqrt {3});$
(3)$\frac {\sqrt {2}×\sqrt {6}}{\sqrt {3}}+(\sqrt {3}-2)^{2}-\sqrt {2}×(\sqrt {2}-\sqrt {6}).$

答案：
(1)解：原式$=4\sqrt{2}÷\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{2}+3\sqrt{6}$
$=4-\sqrt{6}+3\sqrt{6}$
$=4 + 2\sqrt{6}$
(2)解：原式$=5-5\sqrt{3}+(\sqrt{15})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}$
$=5 - 5\sqrt{3}+15 - 12$
$=8 - 5\sqrt{3}$
(3)解：原式$=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+(3 - 4\sqrt{3}+4)-(\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{6})$
$=2+(7 - 4\sqrt{3})-(2 - 2\sqrt{3})$
$=2 + 7 - 4\sqrt{3}-2 + 2\sqrt{3}$
$=7 - 2\sqrt{3}$

20. (6分)已知$x= 1-\sqrt {2},y= 1+\sqrt {2}$,求$x^{2}+y^{2}-xy-2x+2y$的值.

答案： 解：原式$=x^{2}+y^{2}-xy - 2x + 2y$
$=(x^{2}-2xy + y^{2}) + xy - 2x + 2y$
$=(x - y)^{2}+xy - 2(x - y)$
$\because x = 1-\sqrt{2}$，$y = 1+\sqrt{2}$
$\therefore x - y=(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$
$xy=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=1^{2}-(\sqrt{2})^{2}=1 - 2=-1$
$\therefore$原式$=(-2\sqrt{2})^{2}+(-1)-2×(-2\sqrt{2})$
$=8 - 1 + 4\sqrt{2}$
$=7 + 4\sqrt{2}$

21. (8分)已知线段a,b,c满足$|a-\sqrt {18}|+(b-4\sqrt {2})^{2}+\sqrt {c-\sqrt {50}}= 0.$
(1)求a,b,c的值.
(2)线段a,b,c能否围成三角形? 若能围成三角形,求出该三角形的周长;若不能围成三角形,请说明理由.

答案： $ (1)$求$a，$$b，$$c$的值　　
解：　　
因为绝对值$\vert a - \sqrt{18}\vert\geq0，$一个数的平方$(b - 4\sqrt{2})^2\geq0，$算术平方根$\sqrt{c - \sqrt{50}}\geq0，$且$\vert a - \sqrt{18}\vert+(b - 4\sqrt{2})^2+\sqrt{c - \sqrt{50}} = 0。$　　
根据$“$若几个非负数的和为$0，$则这几个非负数都为$0”，$可得：　　
$\begin{cases}a-\sqrt{18}=0\\b - 4\sqrt{2}=0\\c-\sqrt{50}=0\end{cases}$　　
解$a-\sqrt{18}=0$：　　
$a=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$　　
解$b - 4\sqrt{2}=0$：　　
$b = 4\sqrt{2}$　　
解$c-\sqrt{50}=0$：　　
$c=\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$　　
$ (2)$判断线段$a，$$b，$$c$能否围成三角形并求周长　　
解：　　
根据三角形三边关系$“$任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边$”。$　　
计算$a + b$：　　
$a + b=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(3 + 4)\sqrt{2}=7\sqrt{2}，$因为$7\sqrt{2}＞5\sqrt{2}（$即$a + b＞c）。$　　
计算$a + c$：　　
$a + c=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3 + 5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}，$因为$8\sqrt{2}＞4\sqrt{2}（$即$a + c＞b）。$　　
计算$b + c$：　　
$b + c=4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(4 + 5)\sqrt{2}=9\sqrt{2}，$因为$9\sqrt{2}＞3\sqrt{2}（$即$b + c＞a）。$　　
计算$b - a$：　　
$b - a=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}，$因为$\sqrt{2}＜5\sqrt{2}（$即$b - a＜c）。$　　
计算$c - a$：　　
$c - a=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}，$因为$2\sqrt{2}＜4\sqrt{2}（$即$c - a＜b）。$　　
计算$c - b$：　　
$c - b=5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{2}，$因为$\sqrt{2}＜3\sqrt{2}（$即$c - b＜a）。$　　
所以线段$a，$$b，$$c$能围成三角形。　　
其周长$L=a + b + c=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3 + 4 + 5)\sqrt{2}=12\sqrt{2}。$　　
综上，$(1)\boldsymbol{a = 3\sqrt{2}}，$$\boldsymbol{b = 4\sqrt{2}}，$$\boldsymbol{c = 5\sqrt{2}}；$$(2)$能围成三角形，周长为$\boldsymbol{12\sqrt{2}}。$$ $