《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

22. (10分)某轮滑特色学校准备修建一个训练轮滑技巧的场地,其侧面示意图如图所示,其横截面为梯形,高1米,AD的长为2米,坡道AB的坡比为$1:1.5$,DC的坡比为$1:2.$
(1)求从点C滑到点B的总长度;
(2)由于场地限制,起跑线到墙的距离为7米,为了安全,起跑线到点C以及点B到墙均需留出1米的距离,通过计算判断该场地是否符合安全要求.

答案：
1. （1）
过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$。
因为$AD// BC$，$AE\perp BC$，$DF\perp BC$，所以四边形$AEFD$是矩形，则$EF = AD = 2$米，$AE=DF = 1$米。
已知坡道$AB$的坡比为$1:1.5$，即$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{1.5}$，因为$AE = 1$米，所以$BE=1.5$米。
已知$DC$的坡比为$1:2$，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2}$，因为$DF = 1$米，所以$CF = 2$米。
那么$BC=BE + EF+CF=1.5 + 2+2=5.5$米。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{1^{2}+1.5^{2}}=\sqrt{1 + 2.25}=\sqrt{3.25}=\frac{\sqrt{13}}{2}$米，$CD=\sqrt{DF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$米。
从点$C$滑到点$B$的总长度为$BC + AB+CD=5.5+\frac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{5}\approx5.5 + 1.80+2.24 = 9.54$米。
2. （2）
解：由（1）可知$BC = 5.5$米。
起跑线到墙的距离为$7$米，起跑线到点$C$以及点$B$到墙均需留出$1$米的距离，那么$BC + 1+1=5.5 + 2=7.5$米。
因为$7.5\gt7$，所以该场地不符合安全要求。
综上，（1）从点$C$滑到点$B$的总长度约为$9.54$米；（2）该场地不符合安全要求。

23. (10分)先阅读下列各式,再解决问题.
$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \frac {1×(\sqrt {2}-1)}{(\sqrt {2}+1)×(\sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1;$
$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \frac {1×(\sqrt {3}-\sqrt {2})}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})×(\sqrt {3}-\sqrt {2})}= \sqrt {3}-\sqrt {2};$
$\frac {1}{\sqrt {5}+2}= \frac {1×(\sqrt {5}-2)}{(\sqrt {5}+2)×(\sqrt {5}-2)}= \sqrt {5}-2;$
…
(1)求$\frac {1}{\sqrt {7}+\sqrt {6}}$的值;
(2)求$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}$(n为正整数)的值;
(3)求$\frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {4}}+... +\frac {1}{\sqrt {2021}+\sqrt {2022}}+\frac {1}{\sqrt {2022}+\sqrt {2023}}$的值.

答案：
(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{7}-\sqrt{6})}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2022}}+\frac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2023}}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2022}-\sqrt{2021}+\sqrt{2023}-\sqrt{2022}$
$=\sqrt{2023}-1$