《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

6. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB= 12,BC= 5,点E在AB上,将△DAE沿DE所在的直线折叠,点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为(D)
A.$\frac{7}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.3
D.$\frac{10}{3}$

答案： D 解析:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD = BC = 5,∠A = 90°.根据勾股定理,得 BD = $\sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ = 13.由折叠的性质,得 A'D = AD = 5,AE = A'E,∠DA'E = ∠A = 90°.
∴ ∠EA'B = 90°,A'B = BD - A'D = 8.设 AE = A'E = x,则 BE = 12 - x.在 Rt△A'BE 中,A'E² + A'B² = BE²,即 x² + 8² = (12 - x)².
∴ x = $\frac{10}{3}$.
∴ AE 的长为 $\frac{10}{3}$.

7. 如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD= 120°,点E,F分别在边AB,BC上,将菱形ABCD沿EF折叠,点B正好落在边AD上的点G处,FG交AC于点H。若EG⊥AC于点O,则FG的长为(C)
A.$\sqrt{6}$
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$

答案： C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠BAD = 120°,
∴ AB = BC = CD = AD = 2,AD // BC,∠B = ∠D = 60°.
∴ △ACD 是等边三角形.
∴ ∠CAD = 60°.
∵ EG ⊥ AC,
∴ ∠GOH = 90°.由折叠,得∠EGF = ∠B = 60°,
∴ ∠OHG = 30°.
∴ ∠AGH = 180° - ∠OHG - ∠CAD = 90°.
∴ FG ⊥ AD.过点 A 作 AM ⊥ BC 于点 M,则易得 AM = FG,BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = 1.在 Rt△ABM 中,由勾股定理,得 AM = $\sqrt{AB^{2} - BM^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} - 1}$ = $\sqrt{3}$,
∴ FG = $\sqrt{3}$.

8. 如图,四边形ABCD为正方形,E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,点B的对应点为F,延长EF交线段DC于点P。若AB= 8,则PD的长为( )

A.$\frac{16}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.4
D.5

答案：
B 解析:如图,连结 AP.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AB = BC = CD = AD = 8,∠B = ∠C = ∠D = 90°.
∵ E 是 BC 的中点,
∴ BE = CE = $\frac{1}{2}$BC = 4.由折叠,可知 AF = AB,EF = BE = 4,∠AFE = ∠B = 90°,
∴ AD = AF,∠AFP = ∠D = 90°.在 Rt△AFP 和 Rt△ADP 中,
∵ $\begin{cases} AP = AP, \\ AF = AD, \end{cases}$
∴ Rt△AFP ≌ Rt△ADP.
∴ PF = PD.设 PF = PD = x,则 CP = CD - PD = 8 - x,EP = EF + PF = 4 + x.在 Rt△PEC 中,根据勾股定理,得 EP² = CE² + CP²,
∴ (4 + x)² = 4² + (8 - x)²,解得 x = $\frac{8}{3}$.
∴ PD 的长为 $\frac{8}{3}$.

9. 如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点C,D的对应点C',D'都落在直线AB上,折痕为EF。若EF= 6,AC'= 8,则涂色部分的面积为______$10\sqrt {2} $。

答案： $10\sqrt {2} $

10. 如图,在□ABCD中,P为边BC上的一点,连结AP,DP,将△ABP沿AP翻折得到△AQP,点Q落在线段DP上。求证：DQ= CP。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAP=∠BPA，
由翻折可知：PQ=PB，∠BPA=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD，
∵AD=BC，
∴PD=BC，
∵PD-PQ=BC-PB，
∴DQ=CP。

11. ★(丽水中考)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF。
(1)求证：△PDE≌△CDF；
(2)若CD= 4cm,EF= 5cm,求BC的长。

答案：

(1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠A = ∠ADC = ∠B = ∠C = 90°,AB = CD.由折叠,得 AB = PD,∠A = ∠P = 90°,∠B = ∠PDF = 90°,
∴ PD = CD,∠P = ∠C = ∠PDF = ∠ADC = 90°.
∴ ∠PDF - ∠EDF = ∠ADC - ∠EDF,即 ∠PDE = ∠CDF.在△PDE 和△CDF 中,
∵ $\begin{cases} \angle P = \angle C, \\ PD = CD, \\ \angle PDE = \angle CDF, \end{cases}$
∴ △PDE ≌ △CDF.
(2) 如图,过点 E 作 EG ⊥ BC 于点 G,则∠EGF = 90°.易得 EG = CD = 4cm.在 Rt△EGF 中,由勾股定理,得 FG = $\sqrt{EF^{2} - EG^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3(cm).易得四边形 ABGE 是矩形,
∴ AE = BG.设 CF = xcm.由
(1),知△PDE ≌ △CDF,
∴ PE = CF = xcm.由折叠,得 AE = PE,
∴ PE = AE = BG = xcm.
∴ AD = BC = (2x + 3)cm.
∵ AD // BC,
∴ ∠DEF = ∠BFE.由折叠,得∠BFE = ∠DFE,BF = DF,
∴ ∠DEF = ∠DFE,DE = DF = BF = (x + 3)cm.在 Rt△CDF 中,由勾股定理,得 DF² = CF² + CD²,
∴ (x + 3)² = x² + 4².
∴ x = $\frac{7}{6}$.
∴ BC = 2×$\frac{7}{6}$ + 3 = $\frac{16}{3}$(cm).