《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

一般地,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 有以下性质：
(1) 若 $ a ＞ 0 $,则当 $ x\leqslant-\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x\geqslant-\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 达到最小值：$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；无最大值。
(2) 若 $ a ＜ 0 $,则当 $ x\leqslant-\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x\geqslant-\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时,$ y $ 达到最大值：$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；无最小值。

答案：
(1)减小；增大；小；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
(2)增大；减小；大；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；小

典例 1 已知二次函数 $ y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4 $。
(1) 求函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点的坐标,并画出该函数的图象。
(2) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。
点拨 (1) 通过配方或利用公式求得顶点坐标。由于图象与 $ x $ 轴的交点的纵坐标为 $ 0 $,与 $ y $ 轴的交点的横坐标为 $ 0 $,分别令 $ y = 0 $,$ x = 0 $ 列方程求解即可。画图象可以通过描点、连线画出。
(2) 根据图象,确定增减性；最值即是顶点坐标的纵坐标,$ a ＞ 0 $,开口向上,有最小值。
解答：
解有所悟：图象从左到右向上延伸,说明 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；反之,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。可简记为“抛物线开口向上,函数左减右增；抛物线开口向下,函数左增右减”。

答案：

(1) $ \because a = \frac{1}{2}, b = -1, c = -4, \therefore - \frac{b}{2a} = 1 $, $ \frac{4ac - b^2}{4a} = - \frac{9}{2} $. $ \therefore $ 该二次函数图象的顶点坐标为 $ (1, - \frac{9}{2}) $, 对称轴为直线 $ x = 1 $. 令 $ y = 0 $, 则 $ \frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0 $, 整理, 得 $ x^2 - 2x - 8 = 0 $, 解得 $ x_1 = -2, x_2 = 4 $. $ \therefore $ 二次函数的图象与 $ x $ 轴的交点的坐标是 $ (-2, 0), (4, 0) $. 令 $ x = 0 $, 则 $ y = -4 $, $ \therefore $ 二次函数的图象与 $ y $ 轴的交点的坐标是 $ (0, -4) $. 画出二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4 $ 的图象如图所示.
(2) 由图象, 可知当 $ x \geq 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 当 $ x \leq 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 当 $ x = 1 $ 时, 函数 $ y $ 有最小值 $ - \frac{9}{2} $. 　　　　　　

典例 2 若 $ A(-2,y_{1}) $,$ B(1,y_{2}) $,$ C(2,y_{3}) $ 是抛物线 $ y= -x^{2}-2x + m - 1 $ 上的三点,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系为(A)
A.$ y_{1}＞y_{2}＞y_{3} $
B.$ y_{1}＞y_{3}＞y_{2} $
C.$ y_{3}＞y_{2}＞y_{1} $
D.$ y_{2}＞y_{1}＞y_{3} $
点拨 由于二次函数的表达式及各点的横坐标已知,可求得各点的纵坐标后进行比较；也可利用二次函数的图象,明确各点与对称轴的位置,利用二次函数的性质求解。
解答：
解有所悟：在同一抛物线上,函数值的大小比较主要有以下三种方法：(1) 代入 $ x $ 的值,直接比较 $ y $ 的值的大小。(2) 利用二次函数的增减性,若比较大小的函数值对应的点在抛物线的对称轴的同侧,则直接利用二次函数的增减性进行比较；若比较大小的函数值对应的点在抛物线的对称轴的两侧,则先对其中某些点关于抛物线的对称轴进行轴对称变换,将其转化为在对称轴的同侧的点,再利用增减性进行比较。(3) 数形结合,先大致画出抛物线,然后结合图象根据点到对称轴的距离远近进行比较。

答案： 解：抛物线$y = -x^2 - 2x + m - 1$，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×(-1)} = -1$，$a = -1 ＜ 0$，抛物线开口向下。
点$A(-2,y_1)$到对称轴$x = -1$的距离为$|-2 - (-1)| = 1$；
点$B(1,y_2)$到对称轴$x = -1$的距离为$|1 - (-1)| = 2$；
点$C(2,y_3)$到对称轴$x = -1$的距离为$|2 - (-1)| = 3$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
答案：A