《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

典例 3 已知二次函数 $ y = x^{2}+(m - 1)x + 1 $,当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m= -1 $
B.$ m = 3 $
C.$ m\leqslant-1 $
D.$ m\geqslant-1 $
点拨 由于二次函数的表达式已知,可直接找到其图象的对称轴,再结合二次函数的性质求 $ m $ 的取值范围。
解答：
解有所悟：根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤如下：(1) 根据二次函数的顶点式,确定其图象的开口方向和对称轴。(2) 明确抛物线在对称轴两侧的增减情况。(3) 借助图象或性质确定字母的取值范围。

答案： D　解析: 由题意, 得抛物线 $ y = x^2 + (m - 1)x + 1 $ 的开口向上, 对称轴为直线 $ x = - \frac{m - 1}{2} $, 在抛物线对称轴的右侧, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. $ \therefore $ 直线 $ x = 1 $ 与直线 $ x = - \frac{m - 1}{2} $ 重合或在它的右边. $ \therefore - \frac{m - 1}{2} \leq 1 $, 解得 $ m \geq -1 $.

1. 下列函数中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的是(D)
A.$ y = x + 1 $
B.$ y = 2x^{2}+1(x ＞ 0) $
C.$ y= -x^{2}+1(x ＜ 0) $
D.$ y= -x^{2}+1(x ＞ 0) $

答案： 解：A. 一次函数$y=x+1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大；
B. 二次函数$y=2x^2+1$，对称轴为$y$轴，$a=2＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
C. 二次函数$y=-x^2+1$，对称轴为$y$轴，$a=-1＜0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
D. 二次函数$y=-x^2+1$，对称轴为$y$轴，$a=-1＜0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案：D

2. 二次函数 $ y = 2x^{2}+8x - 1 $ 的最小值是(D)
A.$ 7 $
B.$ -7 $
C.$ 9 $
D.$ -9 $

答案： 解：$y=2x^{2}+8x - 1$
$=2(x^{2}+4x) - 1$
$=2(x^{2}+4x + 4 - 4) - 1$
$=2[(x + 2)^{2} - 4] - 1$
$=2(x + 2)^{2} - 8 - 1$
$=2(x + 2)^{2} - 9$
因为$2(x + 2)^{2} \geq 0$，所以当$x = -2$时，$y$有最小值$-9$。
答案：D

3. 已知点 $ A(3,y_{1}) $,$ B(4,y_{2}) $,$ C(-3,y_{3}) $ 均在抛物线 $ y = 2x^{2}-4x + m $ 上,则下列说法中,正确的是(D)
A.$ y_{3}＜y_{2}＜y_{1} $
B.$ y_{2}＜y_{1}＜y_{3} $
C.$ y_{3}＜y_{1}＜y_{2} $
D.$ y_{1}＜y_{2}＜y_{3} $

答案： 解：抛物线 $ y = 2x^2 - 4x + m $ 的对称轴为直线 $ x = -\frac{-4}{2×2} = 1 $，开口向上。
点 $ A(3,y_1) $ 到对称轴的距离为 $ |3 - 1| = 2 $；
点 $ B(4,y_2) $ 到对称轴的距离为 $ |4 - 1| = 3 $；
点 $ C(-3,y_3) $ 到对称轴的距离为 $ |-3 - 1| = 4 $。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以 $ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $。
答案：D

4. 已知二次函数 $ y = a(x + h)^{2}+3 $,当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $＜$ 0 $(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”),$ h $ 的值为$-2$。

答案： 解：二次函数$y = a(x + h)^2 + 3$的对称轴为直线$x=-h$。
因为当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
则$a＜0$，且$-h=2$，即$h=-2$。
$＜$；$-2$

5. 对于二次函数 $ y= -x^{2}+4x - 3 $,其图象与 $ x $ 轴的交点的坐标是$(1, 0), (3, 0)$,当 $ x = $$2$时,函数 $ y $ 的最大值是$1$。

答案： 解：令 $ y = 0 $，则 $-x^{2} + 4x - 3 = 0$，即 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，因式分解得 $(x - 1)(x - 3) = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$，所以图象与 $x$ 轴交点的坐标是 $(1, 0)$，$(3, 0)$。
$y = -x^{2} + 4x - 3 = -(x^{2} - 4x + 4) + 1 = -(x - 2)^{2} + 1$，因为二次项系数$-1 ＜ 0$，所以当 $x = 2$ 时，函数 $y$ 的最大值是 $1$。
$(1, 0), (3, 0)$；$2$；$1$

6. 已知二次函数 $ y = x^{2}-8x + c $ 的最小值为 $ 0 $,则 $ c = $______16。

答案： 解：对于二次函数 $ y = x^2 - 8x + c $，其中 $ a = 1 $，$ b = -8 $，$ c $ 为待求常数。
因为 $ a = 1 ＞ 0 $，所以函数开口向上，有最小值。
对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2×1} = 4 $。
将 $ x = 4 $ 代入函数得最小值：
$ y = 4^2 - 8×4 + c = 16 - 32 + c = c - 16 $。
已知最小值为 $ 0 $，则 $ c - 16 = 0 $，解得 $ c = 16 $。
16

7. 若二次函数 $ y= (x + 5)(x - a) $ 的图象的对称轴为直线 $ x= -2 $,则 $ a = $1,该函数存在最小值,为-9；若点 $ (x_{1},y_{1}) $,$ (x_{2},y_{2}) $ 在此函数的图象上,且 $ x_{1}＜x_{2}＜-2 $,则 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 之间的大小关系是$ y_1 ＞ y_2 $。

答案： 解：
1. 二次函数 $ y=(x+5)(x-a) $ 展开得 $ y=x^2+(5-a)x-5a $，对称轴为 $ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5-a}{2} $。
由对称轴 $ x=-2 $，得 $ -\frac{5-a}{2}=-2 $，解得 $ a=1 $。
2. 函数为 $ y=(x+5)(x-1)=x^2+4x-5=(x+2)^2-9 $，开口向上，存在最小值，为 $-9$。
3. 当 $ x ＜ -2 $ 时，函数单调递减，因 $ x_1 ＜ x_2 ＜ -2 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $。
答案：$1$；小；$-9$；$y_1 ＞ y_2$

8. 已知抛物线 $ y= -2x^{2}+4x + 6 $。
(1) 用配方法求出它的对称轴和顶点坐标。
(2) 求出它与 $ y $ 轴的交点的坐标和与 $ x $ 轴的交点的坐标。
(3) 当自变量 $ x $ 在什么范围内时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？何时 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(4) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 有最大值或最小值？求出最大值或最小值。

答案：
(1) $y=-2x^2 + 4x + 6$
$=-2(x^2 - 2x) + 6$
$=-2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 6$
$=-2[(x - 1)^2 - 1] + 6$
$=-2(x - 1)^2 + 2 + 6$
$=-2(x - 1)^2 + 8$
所以抛物线的对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1, 8)$。
(2) 令$x=0$，则$y=-2×0 + 4×0 + 6=6$，所以与$y$轴的交点坐标为$(0, 6)$。
令$y=0$，则$-2x^2 + 4x + 6=0$，即$x^2 - 2x - 3=0$，$(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，所以与$x$轴的交点坐标为$(3, 0)$，$(-1, 0)$。
(3) 因为抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，所以当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 因为$-2＜0$，抛物线开口向下，所以$y$有最大值，当$x=1$时，$y$的最大值为$8$。