《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 一般地,函数 $ y = a(x - m)^2(a \neq 0) $ 的图象与函数 $ y = ax^2 $ 的图象只是位置不同,它可由 $ y = ax^2 $ 的图象向右(当 $ m ＞ 0 $)或向左(当 $ m ＜ 0 $)平移 $ |m| $ 个单位得到。函数 $ y = a(x - m)^2 $ 的顶点坐标是$(m,0)$,对称轴是直线 $x = m$。
2. 一般地,函数 $ y = a(x - m)^2 + k(a \neq 0) $ 的图象,可以由函数 $ y = ax^2 $ 的图象先向右(当 $ m $＞$ 0 $)或向左(当 $ m $＜$ 0 $)平移 $ |m| $ 个单位,再向上(当 $ k $＞$ 0 $)或向下(当 $ k $＜$ 0 $)平移$|k|$个单位得到,顶点是$(m,k)$,对称轴是直线 $x = m$。

答案： 1. 右 左 $(m,0)$ 直线 $x = m$
2. $＞$ $＜$ $＞$ $＜$ $|k|$ $(m,k)$ 直线 $x = m$

典例 1
已知二次函数 $ y = -2(x + 3)^2 $。
(1)写出其图象的开口方向,对称轴和顶点坐标；
(2)说明它的图象是由抛物线 $ y = -2x^2 $ 经过怎样的平移得到的。
点拨 在 $ y = -2(x + 3)^2 $ 中,$ a = -2 ＜ 0 $,$ m = -3 ＜ 0 $,根据函数 $ y = a(x - m)^2 $ 的图象特征进行判断。
解答：
解有所悟：二次函数 $ y = a(x - m)^2(a \neq 0) $ 的图象与二次函数 $ y = ax^2(a \neq 0) $ 的图象的形状、开口方向完全相同,只不过位置发生变化,顶点坐标由 $ (0, 0) $ 变成了 $ (m, 0) $。

答案： （1）解：二次函数 $ y = -2(x + 3)^2 $ 的图象开口向下，对称轴是直线 $ x = -3 $，顶点坐标是 $ (-3, 0) $。
（2）解：它的图象是由抛物线 $ y = -2x^2 $ 向左平移 3 个单位得到的。

典例 2
在平面直角坐标系中,将抛物线 $ C_1: y = (x - 1)^2 - 1 $ 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位得到新抛物线 $ C_2 $。
(1)求新抛物线 $ C_2 $ 对应的函数表达式；
(2)写出新抛物线 $ C_2 $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)如图,将 $ \triangle OAB $ 沿 $ x $ 轴向左平移得到 $ \triangle O'A'B' $,点 $ A(0, 5) $ 的对应点 $ A' $ 落在平移后的新抛物线 $ C_2 $ 上,求点 $ B $ 与其对应点 $ B' $ 的距离。

点拨(1)根据二次函数图象的平移规律解答。(2)结合二次函数图象的特征写出即可。(3)把 $ y = 5 $ 代入新抛物线 $ C_2 $ 对应的函数表达式求得相应的 $ x $ 的值,即可求得点 $ A' $ 的坐标。根据平移的性质,即可求出点 $ B $ 与其对应点 $ B' $ 的距离。
解答：
解有所悟：解答与二次函数的图象平移相关的题目时,首先应熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减。二次函数图象的上下平移,只影响二次函数表达式 $ y = a(x - m)^2 + k(a \neq 0) $ 中 $ k $ 的值；左右平移,只影响 $ m $ 的值。在平移过程中,$ a $ 的值不变,即二次函数的图象的形状、开口方向不变。

答案： （1）解：抛物线$C_1:y=(x - 1)^2 - 1$向左平移2个单位，得$y=(x - 1 + 2)^2 - 1=(x + 1)^2 - 1$，再向下平移3个单位，得$y=(x + 1)^2 - 1 - 3=(x + 1)^2 - 4$，所以新抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=(x + 1)^2 - 4$。
（2）解：由$y=(x + 1)^2 - 4$，因为二次项系数为1大于0，所以开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
（3）解：因为$\triangle OAB$沿$x$轴向左平移得到$\triangle O'A'B'$，所以点$A$与$A'$纵坐标相等，点$A(0,5)$，则$A'$纵坐标为5。把$y = 5$代入$y=(x + 1)^2 - 4$，得$(x + 1)^2 - 4=5$，即$(x + 1)^2=9$，解得$x=-1\pm3$，$x_1=-4$，$x_2=2$。因为是向左平移，$A'$在$y$轴左侧，所以$x=2$舍去，$A'(-4,5)$。点$A$到$A'$的平移距离为$0 - (-4)=4$，根据平移性质，$BB'=AA'=4$，即点$B$与其对应点$B'$的距离为4。