《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 下列方程中,一定属于一元二次方程的是(A)
A.$ x ^ { 2 } - 2 = 0 $
B.$ a x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 $
C.$ x ^ { 2 } + y = 1 $
D.$ x ^ { 2 } - \frac { 1 } { x } - 1 = 0 $

答案： 解：一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
A. $x^2 - 2 = 0$，只含有一个未知数$x$，未知数的最高次数是2，是整式方程，符合一元二次方程定义。
B. $ax^2 - 2x - 3 = 0$，当$a = 0$时，方程变为$-2x - 3 = 0$，是一元一次方程，不符合。
C. $x^2 + y = 1$，含有两个未知数$x$和$y$，是二元方程，不符合。
D. $x^2 - \frac{1}{x} - 1 = 0$，含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式方程，不符合。
结论：A

2. 在一次同学聚会上,参加的每人都与其他人握手1次,他们共握手105次. 设参加这次同学聚会的有$ x $人,则可列方程为(A)
A.$ x ( x - 1 ) = 210 $
B.$ x ( x - 1 ) = 420 $
C.$ x ( x - 1 ) = 105 $
D.$ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 420 $

答案： 解：设有$x$人参加聚会，每人需与$(x - 1)$人握手，共握手$\frac{x(x - 1)}{2}$次。
由题意得：$\frac{x(x - 1)}{2}=105$
两边同乘2：$x(x - 1)=210$
答案：A

3. 关于$ x $的一元二次方程 $( a - 2 ) x ^ { 2 } + x + a ^ { 2 } - 4 = 0 $的一个根是0,则$ a $的值是(C)
A.0
B.2
C.-2
D.2或-2

答案： 解：因为方程的一个根是0，将$x=0$代入方程$(a - 2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$，得：
$a^2 - 4 = 0$，解得$a = 2$或$a = -2$。
又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 2$。
综上，$a = -2$。
答案：C

4. (聊城中考)用配方法解一元二次方程$ 3 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0 $时,将它化为$ ( x + a ) ^ { 2 } = b $的形式,则$ a + b $的值为(B)
A.$ \frac { 10 } { 3 } $
B.$ \frac { 7 } { 3 } $
C.2
D.$ \frac { 4 } { 3 } $

答案： B 解析：$\because 3x^{2}+6x - 1 = 0,\therefore x^{2}+2x=\frac{1}{3}.\therefore x^{2}+2x + 1=\frac{1}{3}+1$，即$(x + 1)^{2}=\frac{4}{3}.\therefore a = 1,b=\frac{4}{3}.\therefore a + b=\frac{7}{3}.$
 

5. 整体思想 解方程$ ( x - 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x - 1 ) + 4 = 0 $时,我们可以将$ x - 1 $看成一个整体,设$ x - 1 = y $,则原方程可化为$ y ^ { 2 } - 5 y + 4 = 0 $,解得$ y _ { 1 } = 1 $,$ y _ { 2 } = 4 $. 当$ y = 1 $时,$ x - 1 = 1 $,解得$ x = 2 $；当$ y = 4 $时,$ x - 1 = 4 $,解得$ x = 5 $. 故原方程的解为$ x _ { 1 } = 2 $,$ x _ { 2 } = 5 $. 利用这种方法可求得方程$ ( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 x + 5 ) + 3 = 0 $的解为(D)
A.$ x _ { 1 } = 1 $,$ x _ { 2 } = 3 $
B.$ x _ { 1 } = - 3 $,$ x _ { 2 } = - 1 $
C.$ x _ { 1 } = - 2 $,$ x _ { 2 } = 3 $
D.$ x _ { 1 } = - 1 $,$ x _ { 2 } = - 2 $

答案： D 解析：设$2x + 5 = z$，则$(2x + 5)^{2}-4(2x + 5)+3 = 0$可化为$z^{2}-4z + 3 = 0$，解得$z_{1}=1,z_{2}=3$. 当$z = 1$时，$2x + 5 = 1$，解得$x = - 2$；当$z = 3$时，$2x + 5 = 3$，解得$x = - 1.\therefore$方程$(2x + 5)^{2}-4(2x + 5)+3 = 0$的解为$x_{1}=-1,x_{2}=-2$.

6. (荆州中考)关于$ x $的方程 $x ^ { 2 } - 3 k x - 2 = 0 $的实数根的情况,下列判断正确的是(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.有一个实数根

答案： B 解析：$\because$关于$x$的方程$x^{2}-3kx - 2 = 0$的根的判别式$=(-3k)^{2}-4×1×(-2)=9k^{2}+8＞0,\therefore$关于$x$的方程$x^{2}-3kx - 2 = 0$有两个不相等的实数根.

关于 x 的一元二次方程 3 x ^ { 2 } - 2 x + m = 0 有两个实数根,其中一根为 x = 1 ,则这两根之积为(D)
A.$ \frac { 1 } { 3 } $
B.$ \frac { 2 } { 3 } $
C.1
D.$ - \frac { 1 } { 3 } $

答案： D 解析：$\because$方程的其中一根为$x = 1,\therefore 3 - 2 + m = 0$，解得$m = - 1.\because$两根之积为$\frac{m}{3},\therefore$两根之积为$-\frac{1}{3}$.

8. (宜宾中考)已知$ m $,$ n $是一元二次方程$ x ^ { 2 } + 2 x - 5 = 0 $的两个实数根,则$ m ^ { 2 } + m n + 2 m $的值为(A)
A.0
B.-10
C.3
D.10

答案： A 解析：$\because m,n$是一元二次方程$x^{2}+2x - 5 = 0$的两个实数根，$\therefore mn=-5,m^{2}+2m - 5 = 0.\therefore m^{2}+2m = 5.\therefore m^{2}+mn + 2m = m^{2}+2m + mn = 5 - 5 = 0$.

9. 如图所示的六边形是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形组成的,其中甲、乙的面积之和等于丙、丁的面积之和. 若丙的一条直角边的长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一条直角边的长为(D)
A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.$ \frac { 3 } { 5 } $
C.$ 2 - \sqrt { 3 } $
D.$ 4 - 2 \sqrt { 3 } $

答案： D 解析：设丁的一条直角边的长为$a$，且$a＜2.\because$甲的面积$+$乙的面积$=$丙的面积$+$丁的面积，$\therefore 2a + 2a=\frac{1}{2}×2^{2}+\frac{1}{2}a^{2}$，即$4a = 2+\frac{1}{2}a^{2}$. 整理，得$a^{2}-8a + 4 = 0.\therefore a=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4×1×4}}{2}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}=4\pm2\sqrt{3}.\because a＜2,\therefore a = 4 - 2\sqrt{3}$.

10. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件的利润为6元,每提高1个档次,每件的利润增加2元,但一天的产量减少5件. 若生产的产品一天的总利润为1120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该产品的质量档次是(A)
A.第6档次
B.第8档次
C.第10档次
D.第4档次

答案： A 解析：设该产品的质量档次是第$x$档次，则每天的产量为$[95 - 5(x - 1)]$件，每件的利润是$[6 + 2(x - 1)]$元. 根据题意，得$[6 + 2(x - 1)][95 - 5(x - 1)] = 1120$. 整理，得$x^{2}-18x + 72 = 0$，解得$x_{1}=6,x_{2}=12$（不合题意，舍去）.$\therefore$该产品的质量档次是第6档次.

11. 以3,-2为两根,且二次项系数为1的一元二次方程的一般式为$x^2 - x - 6 = 0$.

答案： 解：设该一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$。
因为方程的两根为3和-2，根据韦达定理可得：
$3 + (-2) = -b$，解得$b = -1$；
$3×(-2) = c$，解得$c = -6$。
所以该一元二次方程的一般式为$x^2 - x - 6 = 0$。
答案：$x^2 - x - 6 = 0$