《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

7. 已知$\triangle ABC的三边的长分别为a$,$b$,$c$,它们都是正整数,且$a$,$b满足2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11= 0$,则$\triangle ABC$的周长是______7。

答案： 解：
∵$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$，
∴$2a^{2}-4a+2 + b^{2}-6b+9=0$，
即$2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0$。
∵$2(a-1)^{2}\geq0$，$(b-3)^{2}\geq0$，
∴$a-1=0$，$b-3=0$，
解得$a=1$，$b=3$。
∵$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边，
∴$b - a ＜ c ＜ b + a$，即$3 - 1 ＜ c ＜ 3 + 1$，
∴$2 ＜ c ＜ 4$。
∵$c$是正整数，
∴$c=3$。
∴$\triangle ABC$的周长为$a + b + c=1 + 3 + 3=7$。
答案：7

8. 若$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c满足a^{2}+b^{2}+c^{2}= 6a+8b+10c-50$,利用所学知识判定$\triangle ABC$的形状。

答案： 解：
∵$a^{2}+b^{2}+c^{2}=6a+8b+10c-50$，
∴$a^{2}-6a+9+b^{2}-8b+16+c^{2}-10c+25=0$，
∴$(a-3)^{2}+(b-4)^{2}+(c-5)^{2}=0$，
∴$a=3$，$b=4$，$c=5$，
∵$a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25=5^{2}=c^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形。

9. 设$a$,$b$,$c$是实数,若$a+b+c= 2\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+6\sqrt{c-2}-14$,求$a-2b+c$的值。
答案讲解

答案： 解：
∵$a + b + c = 2\sqrt{a + 1} + 4\sqrt{b + 1} + 6\sqrt{c - 2} - 14$，
∴$a + b + c - 2\sqrt{a + 1} - 4\sqrt{b + 1} - 6\sqrt{c - 2} + 14 = 0$。
∴$(a + 1) - 2\sqrt{a + 1} + 1 + (b + 1) - 4\sqrt{b + 1} + 4 + (c - 2) - 6\sqrt{c - 2} + 9 = 0$。
∴$(\sqrt{a + 1} - 1)^2 + (\sqrt{b + 1} - 2)^2 + (\sqrt{c - 2} - 3)^2 = 0$。
∵平方数非负，
∴$\sqrt{a + 1} - 1 = 0$，$\sqrt{b + 1} - 2 = 0$，$\sqrt{c - 2} - 3 = 0$。
解得$a = 0$，$b = 3$，$c = 11$。
∴$a - 2b + c = 0 - 2×3 + 11 = 5$。
答案：$5$

10. 若代数式$M= 3x^{2}+8$,$N= 2x^{2}+4x$,则$M$,$N$的大小关系是(C)
A.$M\geq N$
B.$M\leq N$
C.$M＞N$
D.$M＜N$

答案： C 解析:
∵M=3 x²+8, N=2 x²+4 x,
∴M-N=3 x²+8-(2 x²+4 x)=x²-4 x+8=(x-2)²+4.
∵(x-2)² ≥ 0,
∴(x-2)²+4 ≥ 4＞0.
∴M-N＞0.
∴M＞N.

11. 已知$a$,$b满足等式x= a^{2}-6ab+9b^{2}$,$y= 4a-12b-4$,则$x$,$y$的大小关系是(D)
A.$x= y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.$x\geq y$

答案： D 解析: 由题意, 得 x-y=a²-6 a b+9 b²-(4 a-12 b-4)=(a-3 b)²-4(a-3 b)+4=[(a-3 b)-2]².
∵[(a-3 b)-2]² ≥ 0,
∴x ≥ y.

12. (1)如图①所示为边长是$a$的正方形,保持正方形的一边不变,将另一边增加4,得到如图②所示的矩形,此矩形的面积为$S_{1}$；将图①中的正方形的边长增加2,得到如图③所示的新正方形,此正方形的面积为$S_{2}$。用含$a的代数式分别表示S_{1}$,$S_{2}$,然后请用作差法比较$S_{1}与S_{2}$的大小。
(2)已知$A= 2a^{2}-6a+1$,$B= a^{2}-4a-1$,请用作差法比较$A与B$的大小。

答案：
(1) 根据题意，得
$ S_{1} = a(a + 4) = a^{2} + 4a $，
$ S_{2} = (a + 2)^{2} = a^{2} + 4a + 4 $。
$ S_{1} - S_{2} = (a^{2} + 4a) - (a^{2} + 4a + 4) = -4 $。
因为 $-4 ＜ 0$，所以 $ S_{1} ＜ S_{2} $。
(2) $ A - B = (2a^{2} - 6a + 1) - (a^{2} - 4a - 1) $
$ = 2a^{2} - 6a + 1 - a^{2} + 4a + 1 $
$ = a^{2} - 2a + 2 $
$ = (a - 1)^{2} + 1 $。
因为 $(a - 1)^{2} \geq 0$，所以 $(a - 1)^{2} + 1 \geq 1 ＞ 0$，故 $ A ＞ B $。

13. 对于任意实数$x$,多项式$x^{2}-5x+7$的值是(C)
A.负数
B.非正数
C.正数
D.无法确定正负的数

答案： C 解析: x²-5 x+7=x²-5 x+frac{25}{4}+frac{3}{4}=(x-frac{5}{2})²+frac{3}{4}.
∵不论 x 为何实数, (x-frac{5}{2})² ≥ 0,
∴(x-frac{5}{2})²+frac{3}{4}＞0.
∴多项式 x²-5 x+7 的值是正数.