《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

7. 如图,线段AB的长为2,C为AB上一动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD,等腰直角三角形BCE,则DE长的最小值是____.

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答案： 设 $ AC = x $，则 $ BC = 2 - x $。
∵ $ \triangle ACD $ 是等腰直角三角形，
∴ $ AD = CD $，$ \angle ACD = 45^\circ $。
在 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ AD^2 + CD^2 = AC^2 $，即 $ 2CD^2 = x^2 $，
∴ $ CD^2 = \frac{x^2}{2} $。
同理，$ \triangle BCE $ 是等腰直角三角形，$ \angle ECB = 45^\circ $，$ CE^2 = \frac{(2 - x)^2}{2} $。
∵ $ \angle DCE = 180^\circ - \angle ACD - \angle ECB = 90^\circ $，
在 $ Rt\triangle CDE $ 中，$ DE^2 = CD^2 + CE^2 $，
∴ $ DE^2 = \frac{x^2}{2} + \frac{(2 - x)^2}{2} = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $。
∵ $ 1 ＞ 0 $，$ 0 ＜ x ＜ 2 $，
∴ 当 $ x = 1 $ 时，$ DE^2 $ 有最小值 1，
∴ $ DE $ 长的最小值是 $ 1 $。
答案：1

8. (荆州中考)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上的每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数表达式y= 24-x.第一年除60万元外,其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x(元/件)之间的函数表达式.
(2)该产品第一年的利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价;
②若第二年的售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年的利润最少是多少万元?

答案： （1）解：根据题意，得
$w=(x - 8)(24 - x)-60$
$=24x - x^2 - 192 + 8x - 60$
$=-x^2 + 32x - 252$
（2）①解：$\because$ 该产品第一年的利润为 4 万元，
$\therefore 4=-x^2 + 32x - 252$
整理得 $x^2 - 32x + 256=0$
解得 $x_1 = x_2 = 16$
答：该产品第一年的售价是 16 元/件。
②解：由题意得 $\begin{cases}x\leq16\\24 - x\leq13\end{cases}$
解得 $11\leq x\leq16$
设第二年的利润是 $w'$ 万元，
则 $w'=(x - (8 - 2))(24 - x)-4=(x - 6)(24 - x)-4$
$=24x - x^2 - 144 + 6x - 4$
$=-x^2 + 30x - 148$
$\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线 $x = 15$，且 $11\leq x\leq16$，
$\therefore$ 当 $x = 11$ 时，$w'$ 取得最小值，
此时 $w'=-(11)^2 + 30×11 - 148=-121 + 330 - 148=61$
答：第二年的利润最少是 61 万元。

9. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速(甲车始终不与乙车相遇),减速后甲车行驶的路程s(m)、速度v(m/s)与时间t(s)之间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是多少米?
(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近?最近距离是多少米?

答案： （1）设二次函数表达式为$s = at^2 + bt$，将$(1,15.5)$，$(2,30)$代入得：
$\begin{cases}a + b = 15.5 \\4a + 2b = 30\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.5\\b=16\end{cases}$，$\therefore s=-0.5t^2 + 16t$。
设一次函数表达式为$v = kt + c$，将$(0,16)$，$(8,8)$代入得：
$\begin{cases}c = 16 \\8k + c = 8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\c=16\end{cases}$，$\therefore v=-t + 16$。
令$v = 9$，则$-t + 16 = 9$，解得$t = 7$。
当$t = 7$时，$s=-0.5×7^2 + 16×7=-24.5 + 112 = 87.5$。
$\therefore$当甲车减速至$9m/s$时，行驶路程是$87.5m$。
（2）设两车距离为$w\ m$，则$w = 10t + 20 - (-0.5t^2 + 16t)=0.5t^2 - 6t + 20=0.5(t - 6)^2 + 2$。
令$v = 0$，则$-t + 16 = 0$，$t = 16$，$\therefore 0\leq t\leq16$。
$\because 0.5\gt0$，$\therefore$当$t = 6$时，$w$最小为$2$。
$\therefore 6s$时两车相距最近，最近距离是$2m$。