《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

19. (5 分)如图,在$\triangle ABC$中,D 为 AB 的中点,点 E 在 AC 上,$BE// DF$,$BE= DF$,DF 交 AC 于点 G,连结 EF. 求证：$AG= EG$.

答案：
如图, 连结 DE,AF.
∵ $BE// DF$, $BE = DF$,
∴ 四边形 DBEF 是平行四边形.
∴ $BD// EF$, $BD = EF$.
∴ $AD// EF$.
∵ D 为 AB 的中点,
∴ $AD = BD$.
∴ $AD = EF$.
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形.
∴ $AG = EG$.
　　　　　　

20. (8 分)据统计,某小区居民 2020 年年底家庭轿车的保有量为 81 辆,2022 年年底家庭轿车的保有量达到 144 辆.
(1)若该小区居民 2020 年年底到 2023 年年底家庭轿车保有量的年增长率都相同,则该小区居民到 2023 年年底家庭轿车的保有量将达到多少辆？
(2)小区物业决定将向业主出租 100 个地下停车位,通过调查发现：当每个停车位的月租金为 300 元时,可以出租 50 个停车位；当每个停车位的月租金每降低 10 元时,可以多出租 5 个停车位. 若物业计划停车位的月租金收入为 19 200 元,则应将每个停车位的月租金定为多少元？

答案：
(1) 设家庭轿车保有量的年增长率为$x$。由题意，得$81(1 + x)^{2}=144$，解得$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-\frac{7}{3}$（不合题意，舍去）。$\therefore 144×(1+\frac{1}{3}) = 192$（辆）。答：该小区居民到2023年年底家庭轿车的保有量将达到192辆。
(2) 设应将每个停车位的月租金定为$y$元，则可出租$50 + 5×\frac{300 - y}{10}=(200-\frac{y}{2})$个停车位。由题意，得$y(200-\frac{y}{2})=19200$。整理，得$y^{2}-400y + 38400 = 0$，解得$y_{1}=160$，$y_{2}=240$。当$y = 160$时，$200-\frac{y}{2}=120＞100$，不合题意，舍去；当$y = 240$时，$200-\frac{y}{2}=80＜100$，符合题意。答：应将每个停车位的月租金定为240元。

21. (8 分)某校举办了一次知识竞赛,本次竞赛的满分为 10 分,学生的得分均为整数,成绩达到 6 分及 6 分以上为合格,达到 9 分或 10 分为优秀. 在这次竞赛中,甲、乙两组学生的成绩分布折线统计图如图所示,成绩统计分析表如下：
|组 别|平均数(分)|中位数(分)|方差(分^2)|合格率|优秀率|
|甲组|6.8|a|3.76|90%|30%|
|乙组|b|7.5|1.96|80%|20%|
解答下列问题：
(1)$a=$6；$b=$7.2.
(2)小敏说：“这次竞赛我得了 7 分,在我们小组中排名属中游略偏上.”观察表格后思考判断,小敏是甲(填“甲”或“乙”)组的学生.
(3)甲组学生认为他们组的合格率、优秀率均高于乙组,因此他们组的成绩比乙组好. 但乙组学生不同意甲组学生的观点,认为他们的成绩要好于甲组. 请你写出两条支持乙组学生的观点的理由.
①乙组的平均分高于甲组，总体平均水平高. ②乙组的方差比甲组小，成绩更稳定.

答案：
(1) 6;7.2.
(2) 甲.
(3) ①乙组的平均分高于甲组，总体平均水平高. ②乙组的方差比甲组小，成绩更稳定.