《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

12. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在DO上,DE= 2EO,连结AE。将△ADE沿AD翻折,得△ADE',F是AE的中点,连结E'F。若DE= 2$\sqrt{2}$,求△AFE'的面积。

答案：
解：连结EE'，交AD于点G。
由翻折性质，得EE'⊥AD，E'G=EG，∠DGE=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=45°，△DGE是等腰直角三角形。
∵DE=2$\sqrt{2}$，
∴EG=DG=2（等腰直角三角形直角边=斜边/$\sqrt{2}$）。
∴E'G=2，EE'=EG+E'G=4。
∵DE=2EO，DE=2$\sqrt{2}$，
∴EO=$\sqrt{2}$，DO=DE+EO=3$\sqrt{2}$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=DO=3$\sqrt{2}$，AC⊥BD，∠AOD=90°。
在Rt△ADO中，AD=$\sqrt{AO^2+DO^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}$=6。
∴AG=AD-DG=6-2=4。
△AEE'的面积=$\frac{1}{2}$×EE'×AG=$\frac{1}{2}$×4×4=8。
∵F是AE中点，
∴△AFE'的面积=$\frac{1}{2}$△AEE'的面积=4。
答：△AFE'的面积为4。

13. 小明尝试着将矩形纸片ABCD(AD＞CD)先沿过点A的直线折叠,使得点B落在边AD上的点F处,折痕为AE(如图①)；再沿过点D的直线折叠,使得点C落在边DA上的点N处,点E落在边AE上的点M处,折痕为DG(如图②)。如果第二次折叠后,点M正好在∠NDG的平分线DM上,求矩形ABCD的长边长与短边长的比值。

答案：
解：连结DE。
∵沿过点A的直线折叠，点B落在边AD上的点F处，
∴∠EAD=45°。
∵第二次折叠后，点M在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠CDG，即∠GDE=∠CDE。
∵DG为折痕，
∴∠DGE=∠DGA=90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∴∠DGE=∠C。
又
∵DE=DE，
∴△DGE≌△DCE（AAS），
∴DG=DC。
∵∠EAD=45°，∠DGA=90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$DG。
∵DG=DC，
∴AD=$\sqrt{2}$DC，
即AD:DC=$\sqrt{2}$。
答：矩形ABCD的长边长与短边长的比值为$\sqrt{2}$。

14. 如图,正方形ABCD的边长为4,P为边AD上的一点(不与点A,D重合)。将正方形ABCD折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,延长BC,PG相交于点K,连结BP,BH。
(1)若BE= 3,求AP的长。
(2)在(1)的条件下,求BK的长。
(3)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是定值吗？如果是,请求出该定值；如果不是,请说明理由。

答案：
(1) 由折叠，可知 $ PE = BE = 3 $。
∵ $ AE = AB - BE $，$ AB = 4 $，
∴ $ AE = 1 $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ \angle A = 90^\circ $。
在 $ \text{Rt}\triangle AEP $ 中，由勾股定理，得
$ AP = \sqrt{EP^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2} $。
(2) 过点 $ P $ 作 $ PN \perp BC $ 于点 $ N $，则 $ \angle PNB = 90^\circ $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ \angle A = \angle ABC = 90^\circ $，
∴ 四边形 $ ABNP $ 是矩形，
∴ $ AP = BN = 2\sqrt{2} $，$ AB = PN = 4 $。
由折叠，可知 $ \angle EPK = \angle ABC = 90^\circ $，$ EP = BE $，
∴ $ \angle EPB = \angle EBP $，
∴ $ \angle EPK - \angle EPB = \angle ABC - \angle EBP $，即 $ \angle BPK = \angle PBK $，
∴ $ BK = PK $。
在 $ \text{Rt}\triangle PNK $ 中，$ NK = BK - BN = BK - 2\sqrt{2} $，
由勾股定理，得 $ PK^2 = PN^2 + NK^2 $，
∴ $ BK^2 = 4^2 + (BK - 2\sqrt{2})^2 $，解得 $ BK = 3\sqrt{2} $。
(3) 是定值。
过点 $ B $ 作 $ BM \perp PG $ 于点 $ M $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD // BC $，$ AB = BC $，
∴ $ \angle APB = \angle PBK $，又 $ \angle BPK = \angle PBK $，
∴ $ \angle APB = \angle BPK $。
∵ $ \angle A = \angle BMP = 90^\circ $，$ BP = BP $，
∴ $ \triangle ABP \cong \triangle MBP $，
∴ $ AP = MP $，$ AB = MB $，
∵ $ AB = BC $，
∴ $ BM = BC $。
在 $ \text{Rt}\triangle BCH $ 和 $ \text{Rt}\triangle BMH $ 中，
$ \begin{cases} BH = BH \\ BC = BM \end{cases} $，
∴ $ \text{Rt}\triangle BCH \cong \text{Rt}\triangle BMH $，
∴ $ CH = MH $。
∴ $ \triangle PDH $ 的周长 $ = PD + PH + DH = PD + PM + MH + DH = PD + AP + CH + DH = AD + CD = 4 + 4 = 8 $。
故 $ \triangle PDH $ 的周长为定值 8。