《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

10. 若直线 $ y = kx(k ＞ 0) $ 与双曲线 $ y = \frac{6}{x} $ 交于 $ A(x_{1}, y_{1}) $,$ B(x_{2}, y_{2}) $ 两点,则 $ 3x_{1}y_{2} - 9x_{2}y_{1} $ 的值为36.

答案： 解：
∵点$A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$在双曲线$y = \frac{6}{x}$上，
∴$x_{1}y_{1}=6$，$x_{2}y_{2}=6$。
∵直线$y = kx(k＞0)$与双曲线$y = \frac{6}{x}$的交点关于原点对称，
∴$x_{1}=-x_{2}$，$y_{1}=-y_{2}$。
∴$3x_{1}y_{2}-9x_{2}y_{1}=3(-x_{2})y_{2}-9x_{2}(-y_{2})=-3x_{2}y_{2}+9x_{2}y_{2}=6x_{2}y_{2}$。
∵$x_{2}y_{2}=6$，
∴$6x_{2}y_{2}=6×6=36$。
故答案为：36。

11. (呼和浩特中考)点 $ (2a - 1, y_{1}) $,$ (a, y_{2}) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象上. 若 $ 0 ＜ y_{1} ＜ y_{2} $,则 $ a $ 的取值范围是______$ a ＞ 1 $.

答案： 解：
∵ $ k ＞ 0 $，
∴ 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第一、三象限，在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
∵ $ 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $，
∴ 两点在同一象限（第一象限），且 $ 2a - 1 ＞ a $，
解得 $ a ＞ 1 $。
答案：$ a ＞ 1 $

12. (梧州中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y_{1} = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y_{2} = \frac{m}{x} $ 的图象交于点 $ A(-2, 2) $,$ B(n, -1) $. 当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时,$ x $ 的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞4$.

答案： 解：
∵点$A(-2, 2)$在反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$上，
∴$m = (-2)×2 = -4$，即$y_{2}=-\frac{4}{x}$。
∵点$B(n, -1)$在$y_{2}=-\frac{4}{x}$上，
∴$-1 = -\frac{4}{n}$，解得$n = 4$，则$B(4, -1)$。
由图象可知，当$y_{1}＜y_{2}$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞4$。
$-2＜x＜0$或$x＞4$

13. 如图,矩形 $ OABC $ 的顶点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,点 $ A $ 在 $ x $ 轴的正半轴上,$ AB = 3BC $,点 $ D $ 在 $ x $ 轴的负半轴上,$ AD = AB $,连结 $ BD $,过点 $ A $ 作 $ AE // BD $,交 $ y $ 轴于点 $ E $,点 $ F $ 在 $ AE $ 上,连结 $ FD $,$ FB $. 若 $ \triangle BDF $ 的面积为 9,则 $ k $ 的值是______.

6

答案： 解：
∵AE//BD，
∴△BDF与△ABD同底等高，
∴S_△BDF=S_△ABD=9。
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA，AB=OC。
设BC=a(a＞0)，则AB=3BC=3a，
∴点B的坐标为(a, 3a)。
∵AD=AB=3a，点A在x轴正半轴，点D在x轴负半轴，
∴AD=3a，AB⊥x轴，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AD×AB=$\frac{1}{2}$×3a×3a=9，
即$\frac{9}{2}a^2=9$，解得a²=2（负值舍去）。
∵点B(a, 3a)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=a×3a=3a²=3×2=6。
答案：6

14. (内江中考)如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ P(2, 3) $,与反比例函数 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象在第一象限内交于点 $ Q(m, n) $. 若一次函数中的 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围是______.

答案：
$ \frac{2}{3} ＜ m ＜ 2 $ 解析:如图,过点P作 $ PA // x $ 轴，交反比例函数 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点A，过点P作 $ PB // y $ 轴，交反比例函数 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点B。
∵ $ P(2, 3) $，反比例函数的表达式为 $ y = \frac{2}{x} $，
∴ 易得 $ A(\frac{2}{3}, 3) $，$ B(2, 1) $。
∵ 一次函数中的y的值随x值的增大而增大，
∴ $ \frac{2}{3} ＜ m ＜ 2 $。
　　　　　　　

15. (10分)(温州中考)如图,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象的一支经过点 $ (3, -2) $.
(1)求反比例函数的表达式,并补画该函数图象的另一支；
(2)当 $ y \leq 5 $,且 $ y \neq 0 $ 时,直接写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案：

(1)把 $ (3, -2) $ 代入 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $，得 $ -2 = \frac{k}{3} $，解得 $ k = -6 $。
∴ 反比例函数的表达式为 $ y = -\frac{6}{x} $。补画该函数图象的另一支如图所示。
(2)当 $ y = 5 $ 时，$ -\frac{6}{x} = 5 $，解得 $ x = -\frac{6}{5} $。由图象，可知当 $ y \leq 5 $，且 $ y \neq 0 $ 时，自变量x的取值范围是 $ x \leq -\frac{6}{5} $ 或 $ x ＞ 0 $。
　　　　

16. (10分)如图,一次函数 $ y = -x + b $ 的图象与反比例函数 $ y = -\frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ A(-6, m) $,与 $ x $ 轴交于点 $ B(-4, 0) $.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)若直线 $ y = 4 $ 与直线 $ AB $ 交于点 $ C $,与反比例函数 $ y = -\frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ D $. 根据图象,求出当 $ x ＜ 0 $ 时,关于 $ x $ 的不等式组 $ -x + b ＜ -\frac{k}{x} ＜ 4 $ 的解集.

答案：
(1)
∵点$ B(-4, 0) $在一次函数$ y = -x + b $的图象上，
∴$ 0 = -(-4) + b $，解得$ b = -4 $，
∴一次函数的表达式为$ y = -x - 4 $。
∵点$ A(-6, m) $在$ y = -x - 4 $的图象上，
∴$ m = -(-6) - 4 = 2 $，即$ A(-6, 2) $。
把$ A(-6, 2) $代入$ y = -\frac{k}{x}(x ＜ 0) $，得$ 2 = -\frac{k}{-6} $，解得$ k = 12 $，
∴反比例函数的表达式为$ y = -\frac{12}{x} $。
(2)在$ y = -\frac{12}{x} $中，令$ y = 4 $，则$ 4 = -\frac{12}{x} $，解得$ x = -3 $，即点$ D(-3, 4) $。
观察图象，当$ x ＜ 0 $时，不等式组$ -x + b ＜ -\frac{k}{x} ＜ 4 $的解集为$ -6 ＜ x ＜ -3 $。