《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 教材例2的解题思路:首先通过勾股定理建立二次函数模型,然后将问题转化为求二次函数的最小值.
2. 教材例3的解题关键:通过题意得到每瓶的售价每增加0.5元,日均销售量减少 40 瓶,从而当每瓶的售价为x元时,其日均销售量为400-40[(x - 12)÷0.5]=(1360 - 80x)瓶,进而建立二次函数模型求解.

答案： 1. 勾股
2. 减少 40 瓶 $40[(x - 12)÷0.5]$ $(1360 - 80x)$

典例1 如图所示为两条互相垂直的街道,且A地到B,C两地的距离都是4km.现甲从B地走向A地,乙从A地走向C地,两人同时出发且速度都是4km/h,何时两人之间的直线距离最近?最近距离是多少?

点拨 根据勾股定理可表示两人之间的直线距离,然后借助二次函数的性质确定最值.
解答:
解有所悟:已知直角三角形的两边长,运用勾股定理可求得第三边长;确定二次根式的最值时,若被开方数是二次三项式,可通过配方先确定被开方数的最值,再确定相应二次根式的最值.

答案： 解：设两人均出发了 $ t\ h $。
因为甲从B地走向A地，速度为4km/h，A地到B地距离为4km，所以甲到A地的距离是 $ (4 - 4t)\ km $；乙从A地走向C地，速度为4km/h，所以乙到A地的距离是 $ 4t\ km $。
设甲、乙两人之间的距离为 $ S\ km $，由于街道互相垂直，根据勾股定理可得：
$ S = \sqrt{(4 - 4t)^2 + (4t)^2} $
化简被开方数：
$\begin{aligned}(4 - 4t)^2 + (4t)^2&=16 - 32t + 16t^2 + 16t^2\\&=32t^2 - 32t + 16\\&=32(t^2 - t) + 16\\&=32\left(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 16\\&=32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 8 + 16\\&=32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8\end{aligned}$
所以 $ S = \sqrt{32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8} $。
因为 $ 0 \leq t \leq 1 $，二次函数 $ 32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 $ 的图像开口向上，当 $ t = \frac{1}{2} $ 时，被开方数取得最小值8，此时 $ S $ 取得最小值 $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $。
答：出发 $ 0.5\ h $ 时，两人之间的直线距离最近，最近距离是 $ 2\sqrt{2}\ km $。

典例2 (淮安中考)端午节前夕,某超市从厂家分两次购进A,B两种品牌的粽子,两次进货时,两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋,总费用为7000元;第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋,总费用为8100元.
(1)求A,B两种品牌粽子每袋的进价.
(2)当B品牌粽子每袋的售价为54元时,每天可售出20袋.为了促销,该超市决定对B品牌粽子进行降价销售.经市场调研,若每袋的售价每降低1元,则每天的销售量将增加5袋.当B品牌粽子每袋的售价降低多少元时,每天售出B品牌粽子所获得的利润最大?最大利润是多少元?
点拨 (1)设A品牌粽子每袋的进价是x元,B品牌粽子每袋的进价是y元,根据两次进货情况,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)根据“利润= (每袋的售价-每袋的进价)×销售量”列函数表达式,配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值.
解答:
解有所悟:利用二次函数求最大利润问题的步骤:
(1)运用“总利润= 总售价-总成本”或“总利润= 单件利润×销售量”列出利润与价格之间的函数表达式.(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围.(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利用配方法或公式法求出最大利润;也可以画出函数的大致图象,利用大致图象和性质求出.

答案： （1）设A品牌粽子每袋的进价是x元，B品牌粽子每袋的进价是y元。根据题意，得
$\begin{cases}100x + 150y = 7000 \\180x + 120y = 8100\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 25 \\y = 30\end{cases}$
答：A品牌粽子每袋的进价是25元，B品牌粽子每袋的进价是30元。
（2）设B品牌粽子每袋的售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润为w元。根据题意，得
$w=(54 - a - 30)(20 + 5a)$
$=-5a^2 + 100a + 480$
$=-5(a - 10)^2 + 980$
由题意，得$0 ＜ a ＜ 24$。
$\because -5 ＜ 0$，
$\therefore$当$a = 10$时，w取得最大值980。
答：当B品牌粽子每袋的售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元。