《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE= BD,连结AE.若∠ADB= 40°,则∠E的度数是(A)

A.20°
B.25°
C.30°
D.35°

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AC=BD，∠ADB=∠CAD=40°（矩形对角线相等且互相平分，内错角相等）。
∵CE=BD，
∴CE=AC，
∴∠E=∠CAE（等腰三角形两底角相等）。
∵AD//BC，
∴∠E=∠DAE（内错角相等）。
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=40°，
∴∠E=20°。
答案：A

2. (河池中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中,错误的是(C)

A.AB= AD
B.AC⊥BD
C.AC= BD
D.∠DAC= ∠BAC

答案： 解：菱形的性质：
- 菱形的四条边相等，所以AB=AD，A正确；
- 菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，B正确；
- 菱形的对角线不一定相等，只有正方形（特殊菱形）对角线才相等，C错误；
- 菱形的对角线平分一组对角，所以∠DAC=∠BAC，D正确。
结论：错误的是C。
C

3. 如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE= AD,连结EB,EC,DB.若添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形,则该条件可以是(D)
A.AB= BE
B.CE⊥DE
C.∠ADB= 90°
D.BE⊥DC

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，DE//BC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
A.
∵AB=BE，AB=CD，
∴BE=CD，
∴平行四边形DBCE是矩形；
B.
∵CE⊥DE，∠E=90°，
∴平行四边形DBCE是矩形；
C.
∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形DBCE是矩形；
D. BE⊥DC，平行四边形DBCE是菱形，不一定是矩形．
答案：D

4. 如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O.若AC= 8,DB= 6,DH⊥AB于点H,则DH的长为(B)
A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.5
D.$\frac{27}{5}$

答案： 解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3。
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
菱形ABCD面积=$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$。
又
∵菱形ABCD面积=AB×DH，
∴5×DH=24，解得DH=$\frac{24}{5}$。
答案：B

5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心、大于$\frac{1}{2}BF$的长为半径画弧,两弧在BC下方交于点M,作射线AM交BC于点E,连结EF.下列结论中,不一定成立的是(D)

A.BE= EF
B.EF//CD
C.EA平分∠BEF
D.AB= EA

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，∠DAE=∠AEB。
由作图知，AF=AB，AM平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE。
∵∠DAE=∠AEB，∠FAE=∠DAE，
∴∠FAE=∠AEB，
∴EF=AF=AB。
∵AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴BE=EF，∠AEB=∠AEF，即EA平分∠BEF。
∵EF=AB=CD，AD//BC，
∴四边形CDEF是平行四边形（或证∠BEF=∠C，得EF//CD）。
综上，A、B、C成立，D不一定成立。
答案：D

6. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB= 3,BC= 4,过点O作OM⊥AC,交BC于点M,过点M作MN⊥BD,垂足为N,则OM+MN的值为(C)
A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{6}{5}$

答案： C 解析：由勾股定理，易得 $ AC = 5 $，再根据矩形的对角线相等且互相平分，可知 $ BO = CO = \frac{1}{2}AC = \frac{5}{2} $。根据 $ S_{\triangle BOC} = S_{\triangle BOM} + S_{\triangle MOC} $，且 $ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 3 × 4 × \frac{1}{2} = 3 $，可得 $ \frac{1}{2}BO \cdot MN + \frac{1}{2}CO \cdot OM = 3 $，从而可得 $ OM + MN = \frac{12}{5} $。

7. 如图,在正方形ABCD中,M,N为CD,BC上的点,且DM= CN,AM与DN交于点P,连结AN,Q为AN的中点,连结PQ.若AB= 10,DM= 4,则PQ的长为(C)

A.$4\sqrt{5}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\frac{16\sqrt{5}}{3}$

答案： C 解析：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD = DC = BC = AB = 10 $，$ \angle ADC = \angle C = \angle B = 90^{\circ} $。又
∵ $ DM = CN $，
∴ $ \triangle ADM \cong \triangle DCN $。
∴ $ \angle DAM = \angle CDN $。
∴ $ \angle APN = \angle DAM + \angle ADP = \angle CDN + \angle ADP = \angle ADC = 90^{\circ} $，即 $ \triangle ANP $ 为直角三角形。
∵ $ CN = DM = 4 $，$ BC = 10 $，
∴ $ BN = 6 $。在 $ Rt\triangle ABN $ 中，由勾股定理，得 $ AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = 2\sqrt{34} $。再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 $ PQ = \frac{1}{2}AN = \sqrt{34} $。

8. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,D,E分别是边AB,AC上的点,连结DE,DC,BE,分别取DE,BE,BC,DC的中点F,G,H,I,并依次连结四点得四边形FGHI,且四边形FGHI是正方形,需满足的条件是(C)

A.DC= BE
B.DC⊥BE
C.BD= CE
D.AB= AC

答案： C 解析：当 $ BD = CE $ 时，四边形 $ FGHI $ 是正方形。
∵ $ F $，$ G $，$ H $，$ I $ 分别是 $ DE $，$ BE $，$ BC $，$ DC $ 的中点，
∴ $ FG // BD $，$ FG = \frac{1}{2}BD $，$ IH // BD $，$ IH = \frac{1}{2}BD $。
∴ $ FG // IH $，$ FG = IH $。
∴ 四边形 $ FGHI $ 是平行四边形。同理，可得 $ FI // CE $，$ FI = \frac{1}{2}CE $，
∴ $ \angle FID = \angle ACD $。
∵ $ BD // IH $，
∴ $ \angle ADC = \angle DIH $。
∵ $ \angle BAC = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle ADC + \angle ACD = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle DIH + \angle FID = 90^{\circ} $，即 $ \angle FIH = 90^{\circ} $。
∴ 四边形 $ FGHI $ 是矩形。
∵ $ BD = CE $，
∴ $ FG = FI $。
∴ 四边形 $ FGHI $ 是正方形。