《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

4. 若抛物线 $y = x^{2}-2x - m$ 与 $x$ 轴有两个交点, 则 $m$ 的取值范围是$m ＞ -1$.

答案： 解：
∵抛物线 $y = x^2 - 2x - m$ 与 $x$ 轴有两个交点，
∴一元二次方程 $x^2 - 2x - m = 0$ 有两个不相等的实数根。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程 $x^2 - 2x - m = 0$ 中，$a = 1$，$b = -2$，$c = -m$，
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m$。
令$\Delta ＞ 0$，即$4 + 4m ＞ 0$，
解得$m ＞ -1$。
$m ＞ -1$

5. (1) 请在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 $y = x^{2}+2x$ 的大致图象;
(2) 根据方程的根与函数图象的关系, 将方程 $x^{2}+2x = 1$ 的根在图上近似地表示出来(描点);
(3) 观察图象, 直接写出方程 $x^{2}+2x = 1$ 的近似根:______(精确到 $0.1$).

答案：

(1) 如图所示.
(2) 如图, 点 $M, N$ 即为所求作.
(3) $x_{1} \approx-2.4, x_{2} \approx 0.4$.

6. (凉山中考)已知抛物线 $y = ax^{2}+bx + c$ 经过点 $(1,0)$ 和 $(0,-3)$, 且对称轴在 $y$ 轴的左侧, 则下列结论中, 错误的是 ( )

A.$a\gt0$
B.$a + b = 3$
C.抛物线经过点 $(-1,0)$
D.关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = -1$ 有两个不相等的实数根

答案：
C 解析: 由题意作图如图所示. 由图, 知 $a＞0$, 故选项 A 正确, 不合题意. $\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 经过点 $(1,0)$ 和 $(0,-3), \therefore a+b+c=0, c=-3 . \therefore a+b=3$. 故选项 B 正确, 不合题意. $\because$ 对称轴在 $y$ 轴的左侧, 点 $(1,0)$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $(-1,0), \therefore$ 抛物线不经过点 $(-1,0)$. 故选项 C 错误, 符合题意. 由图, 知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与直线 $y=-1$ 有两个交点, $\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=-1$ 有两个不相等的实数根. 故选项 D 正确, 不合题意.

7. 如图, 以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时, 小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力, 小球的飞行高度 $h(\mathrm{m})$ 与飞行时间 $t(\mathrm{s})$ 之间具有二次函数关系. 小明在一次击球过程中测得的一些数据如下表:
| 飞行时间 $t(\mathrm{s})$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| 飞行高度 $h(\mathrm{m})$ | $0$ | $15$ | $20$ |
根据相关信息解答下列问题:
(1) 求小球的飞行高度 $h(\mathrm{m})$ 关于飞行时间 $t(\mathrm{s})$ 的二次函数的表达式.
(2) 小球从飞出到落地要用多长时间?
(3) 小球的飞行高度能否达到 $20.5\mathrm{m}$? 如果能, 请求出相应的飞行时间; 如果不能, 请说明理由.

答案：
(1) 设二次函数表达式为 $ h = at^2 + bt $。
将 $ (1,15) $，$ (2,20) $ 代入，得
$\begin{cases} a + b = 15 \\ 4a + 2b = 20 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a = -5 \\ b = 20 \end{cases}$
$\therefore h = -5t^2 + 20t$
(2) 令 $ h = 0 $，则 $ -5t^2 + 20t = 0 $
解得 $ t_1 = 0 $，$ t_2 = 4 $
$\therefore$ 小球从飞出到落地要用 $ 4\ \text{s} $
(3) 不能。
令 $ h = 20.5 $，则 $ -5t^2 + 20t = 20.5 $
整理得 $ t^2 - 4t + 4.1 = 0 $
$\because \Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × 4.1 = -0.4 ＜ 0$
$\therefore$ 方程无实数根，故不能达到 $ 20.5\ \text{m} $