《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$,顶点坐标是$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$。当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
2. 对于生活中的抛物线形的实际问题,建立平面直角坐标系可确定其图象上几个关键点的坐标,运用待定系数法可求出抛物线对应的函数表达式,由此解决实际问题。

答案： 1. 抛物线；$x=-\dfrac{b}{2a}$；$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$；上；低；下；高
2. 待定系数法

典例 1
已知二次函数 $ y = x^{2}-4x + 3 $。
(1) 用配方法将 $ y = x^{2}-4x + 3 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式；
(2) 写出该二次函数的图象的对称轴与顶点坐标；
(3) 在如图所示的平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象。

点拨 通过配方将二次函数的一般式化为顶点式,然后写出图象的对称轴和顶点坐标；画二次函数的图象时,可以采用“五点法”描点、连线画出。
解答：
解有所悟：用“五点法”画二次函数的图象时通常在下面的点中取“五点”：(1) 二次函数图象的顶点；(2) 二次函数图象与坐标轴 ($ x $ 轴、$ y $ 轴) 的交点；(3) 从二次函数图象上任取一点,任取一个 $ x $ 的值代入函数表达式求出 $ y $ 的值。将上述五点在平面直角坐标系中画出,然后用光滑的曲线顺次连结即可。

答案：

(1) 配方，得 $ y = (x - 2)^2 - 1 $。
(2) 对称轴为直线 $ x = 2 $，顶点坐标为 $ (2, -1) $。
(3) 取二次函数图象上的五个特殊点：$ (0, 3) $，$ (1, 0) $，$ (2, -1) $，$ (3, 0) $，$ (4, 3) $，将上述五点描出，并用光滑的曲线顺次连结，得到如图所示的函数图象。

典例 2
已知抛物线 $ y = ax^{2}-ax(a\neq0) $ 经过点 $ (-1,2) $。
(1) 求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标。
(2) 能否通过平移上面的抛物线得到抛物线 $ y = x^{2}+3x+\frac{1}{2} $？如果能,请说明平移方式；如果不能,请说明理由。
点拨 (1) 利用待定系数法将 $ (-1,2) $ 代入函数表达式求出 $ a $ 的值,然后通过配方将表达式转化为顶点式,写出顶点坐标。(2) 分别求出两抛物线的顶点坐标,根据抛物线顶点坐标的变化规律解答。
解答：
解有所悟：解决这类问题的关键是确定平移前、后抛物线的顶点坐标,再由平移规律得到所求的平移方式。

答案：
(1) 把点$(-1, 2)$代入$y = ax^2 - ax(a \neq 0)$，得$a(-1)^2 - a(-1) = 2$，即$a + a = 2$，解得$a = 1$。所以该抛物线对应的函数表达式为$y = x^2 - x$。
$\because y = x^2 - x = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$，$\therefore$顶点坐标为$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$。
(2) 能。
$\because y = x^2 + 3x + \frac{1}{2} = x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}$，$\therefore$平移后抛物线的顶点坐标是$\left(-\frac{3}{2}, -\frac{7}{4}\right)$。
原抛物线顶点坐标为$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$，顶点横坐标变化：$-\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$，即向左平移2个单位；顶点纵坐标变化：$-\frac{7}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$，即向下平移$\frac{3}{2}$个单位。
所以将抛物线$y = x^2 - x$先向左平移2个单位，再向下平移$\frac{3}{2}$个单位可得到抛物线$y = x^2 + 3x + \frac{1}{2}$。