《2025年暑期升级训练八年级数学浙教版浙江教育出版社》

20. (14分)(雅安中考)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形$ABO的直角顶点A的坐标为(m,2)$,点$B在x$轴上,将$\triangle ABO向右平移得到\triangle DEF$,使点$D恰好在反比例函数y= \frac{8}{x}(x＞0)$的图象上。
(1)求$m的值和点D$的坐标；
(2)求$DF$所在的直线对应的函数表达式；
(3)若该反比例函数的图象与$DF所在的直线的另一个交点为G$,求$S_{\triangle EFG}$。

答案：

(1)如图,过点A作AH⊥BO于点H.
∵△ABO为等腰直角三角形,点A的坐标为$(m,2)$,
∴AH = BH = OH = 2.
∴点A的坐标为$(-2,2)$,即$m = - 2$.由平移的性质,可得$y_{D}=y_{A}=2$.
∵点D在反比例函数$y=\frac {8}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$x_{D}=\frac {8}{2}=4$.
∴点D的坐标为$(4,2)$.
(2)
∵点A的坐标为$(-2,2)$,点D的坐标为$(4,2)$,
∴等腰直角三角形ABO向右平移了6个单位.
∴易得点F的坐标为$(6,0)$.设DF所在的直线对应的函数表达式为$y = kx + b$.把D(4,2),F(6,0)代入,得$\begin{cases}4k + b = 2\\6k + b = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = - 1\\b = 6\end{cases}$
∴DF所在的直线对应的函数表达式为$y = - x + 6$.
(3)如图,延长FD,交反比例函数的图象于点G,连结EG.联立$\begin{cases}y = - x + 6\\y=\frac {8}{x}\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$
∴点G的坐标为$(2,4)$.
∵易得$EF = BO = 4$,
∴$S_{△EFG}=\frac {1}{2}EF\cdot y_{G}=\frac {1}{2}×4×4 = 8$.
　　　　　　　

21. (14分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y_{1}= kx+b经过A(a,0)$,$B(0,b)$两点,且$a$,$b满足(a-4)^{2}+\sqrt{b-2}= 0$,过点$B作BP// x$轴,交直线$l_{2}:y_{2}= x于点P$,连结$PA$。
(1)求直线$l_{1}$对应的函数表达式。
(2)在直线$l_{2}上是否存在一点Q$,使得$S_{\triangle BPQ}= S_{\triangle BPA}$？若存在,求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)$C(n,0)是x$轴上的一个动点,$D是y$轴上的一个动点,过点$C作x轴的垂线交直线l_{1}$,$l_{2}于点M$,$N$。若$\triangle MND$是等腰直角三角形,请求出符合条件的$n$的值。

答案：
(1)
∵$(a-4)^{2}+\sqrt{b-2}=0$，
∴$a=4$，$b=2$，则$A(4,0)$，$B(0,2)$。将$A(4,0)$，$B(0,2)$代入$y_{1}=kx+b$，得$\begin{cases}4k+b=0\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，
∴直线$l_{1}$的函数表达式为$y_{1}=-\frac{1}{2}x+2$。
(2)存在。
∵$B(0,2)$，$BP// x$轴，点$P$在$l_{2}:y_{2}=x$上，
∴$P(2,2)$，$BP=2$。$S_{\triangle BPA}=\frac{1}{2}×2×2=2$。
∵$S_{\triangle BPQ}=2$，点$Q$在$l_{2}$上，
∴点$Q$纵坐标为$0$或$4$，则$Q(0,0)$或$(4,4)$。
(3)
∵$C(n,0)$，$CM\perp x$轴，
∴$M(n,-\frac{1}{2}n+2)$，$N(n,n)$，$MN=\vert-\frac{3}{2}n+2\vert$。
①当$\angle MDN=90^{\circ}$时，$\frac{1}{2}\vert-\frac{3}{2}n+2\vert=\vert n\vert$，解得$n=\frac{4}{7}$或$n=-4$；
②当$\angle DNM=90^{\circ}$或$\angle DMN=90^{\circ}$时，$\vert-\frac{3}{2}n+2\vert=\vert n\vert$，解得$n=\frac{4}{5}$或$n=4$。
综上，$n$的值为$\frac{4}{7}$，$-4$，$\frac{4}{5}$，$4$。