《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

19. 如下图, 在等腰三角形 $ ABC $ 中, $ \angle BAC = 120^{\circ} $, $ D $ 为 $ BC $ 的中点, $ DE \perp AB $ 于点 $ E $, 求证: $ AE = \frac{1}{4} AB $.

答案：
证明: 如下图, 连接 $AD$,
$\because AB = AC$, $D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD \perp BC$, $\therefore \angle B + \angle BAD = 90^{\circ}$,
$\because \angle BAC = 120^{\circ}$,
$\therefore \angle B = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAC) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ}$,
在 $Rt\triangle ABD$ 中, $AD = \frac{1}{2}AB$,
$\because DE \perp AB$, $\therefore \angle ADE + \angle BAD = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle ADE = \angle B = 30^{\circ}$,
在 $Rt\triangle ADE$ 中, $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AB = \frac{1}{4}AB$,
即 $AE = \frac{1}{4}AB$.

20. 如下图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle CAB = 60^{\circ} $, $ \angle CAB $ 的平分线 $ AP $ 与 $ \angle CBA $ 的平分线 $ BP $ 相交于点 $ P $, 连接 $ CP $.
(1) 求证: $ CP $ 平分 $ \angle ACB $;
(2) 若 $ AP = 4 $, $ \triangle ABC $ 的周长为 20, 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 1. （1）证明：
过点$P$作$PD\perp AC$于点$D$，$PE\perp AB$于点$E$，$PF\perp BC$于点$F$。
因为$AP$平分$\angle CAB$，$PD\perp AC$，$PE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PD = PE$。
又因为$BP$平分$\angle CBA$，$PE\perp AB$，$PF\perp BC$，所以$PE = PF$。
那么$PD = PF$。
再根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为$PD\perp AC$，$PF\perp BC$，所以$CP$平分$\angle ACB$。
2. （2）解：
因为$AP$平分$\angle CAB$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，所以$\angle CAP=\angle BAP = 30^{\circ}$。
由（1）知$PD = PE = PF$。
在$Rt\triangle ADP$中，$\angle CAP = 30^{\circ}$，$AP = 4$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$PD=\frac{1}{2}AP = 2$。
设$AC = x$，$BC = y$，$AB = z$，已知$x + y+z = 20$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACP}+S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BCP}$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），则$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot PD=\frac{1}{2}x\cdot2$，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PE=\frac{1}{2}z\cdot2$，$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}BC\cdot PF=\frac{1}{2}y\cdot2$。
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AC + AB+BC)\cdot PD$。
把$x + y + z = 20$，$PD = 2$代入上式，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×20×2=20$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\triangle ABC$的面积为$20$。

21. 如下图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC = 2 $, $ \angle B = 40^{\circ} $, 点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上运动 ( $ D $ 不与 $ B $, $ C $ 重合), 连接 $ AD $, 作 $ \angle ADE = 40^{\circ} $, $ DE $ 交线段 $ AC $ 于点 $ E $.
(1) 当 $ \angle BDA = 115^{\circ} $ 时, $ \angle BAD = $$25^{\circ}$; 点 $ D $ 从 $ B $ 向 $ C $ 运动时, $ \angle BDA $ 的度数逐渐变小. (选填 “大” 或 “小”)
(2) 当 $ DC $ 的长为多少, $ \triangle ABD \cong \triangle DCE $? 请说明理由.
(3) 在点 $ D $ 的运动过程中, $ \triangle ADE $ 的形状也在改变, 判断当 $ \angle BDA $ 等于多少度时, $ \triangle ADE $ 是等腰三角形.$\angle ADB$ 为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle ADE$ 是等腰三角形.

答案：
(1) $25^{\circ}$; 小
(2) 解: $\because \angle EDC + \angle EDA = \angle DAB + \angle B$, $\angle B = \angle EDA = 40^{\circ}$, $\therefore \angle EDC = \angle DAB$.
$\because AB = AC$, $\therefore \angle B = \angle C$,
$\therefore$ 当 $DC = AB = 2$ 时, $\triangle ABD \cong \triangle DCE$.
(3) $\angle ADB$ 为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle ADE$ 是等腰三角形.