《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 如下图,把一张长方形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠后,点 $C$,$D$ 分别落在 $C'$,$D'$ 的位置上,$ED'$ 的延长线与 $BC$ 的交点为 $G$,若 $\angle EFG = 50^{\circ}$,那么 $\angle 1$ 的度数为(D)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： D

例 2 在一个正方体的每个面上都有一个汉字,其表面展开图如下图所示,那么在该正方体中,与“毒”字所在面相对的面上的字是防。

答案： 防

例 3 如图,$\angle ABC$ 和 $\angle BCD$ 的平分线交于点 $P$,延长 $CP$ 交 $AB$ 于点 $Q$,且 $\angle PBC + \angle PCB = 90^{\circ}$。
(1) 求证：$AB// CD$；
(2) 探究 $\angle PBC$ 与 $\angle PQB$ 的数量关系。
【思路点拨】(1) 根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；(2) 根据角平分线的定义解答即可。

答案：
(1)证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC．
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠PCB，
∴∠ABC+∠BCD=2∠PBC+2∠PCB，
又
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB//CD．
(2)解：
∵CP平分∠DCB，
∴∠PCD=∠PCB．
∵AB//CD，
∴∠PCD=∠PQB，
∴∠PCB=∠PQB．
又
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC+∠PQB=90°．

例 4 如下图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CA = CB$,$D$ 是 $AC$ 上一点,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,且 $AE = BD$,$BD$ 的延长线交 $AE$ 于点 $F$。$BD$ 与 $AE$ 有什么样的位置关系？请说明理由。
【思路点拨】先利用“HL”证明 $\triangle BDC≌\triangle AEC$,得出 $\angle CBD = \angle CAE$,从而得出 $\angle BFE = 90^{\circ}$,即 $BF⊥AE$。

答案： 解:BD⊥AE,理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
∵BC=AC,BD=AE,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL),
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠CAE+∠E=90°,
∴∠CBD+∠E=90°,
∴∠BFE=90°,
即BD⊥AE.