《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

18. 如下图,在等边 $\triangle ABC$ 的顶点 $A$,$C$ 处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由 $A$ 向 $B$ 和由 $C$ 向 $A$ 爬行,经过 7 分钟后,它们分别爬行到 $D$,$E$ 处,设 $DC$ 与 $BE$ 的交点为 $F$。
(1) 求证：$\triangle ACD≌\triangle CBE$；
(2) 蜗牛在爬行过程中,$DC$ 与 $BE$ 所成的 $\angle BFC$ 的大小有无变化？请证明你的结论。

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°。
∵两只蜗牛速度相同且同时出发，
∴AD=CE。
在△ACD和△CBE中，
$\begin{cases} AC=CB \\ ∠A=∠BCE \\ AD=CE \end{cases}$，
∴△ACD≌△CBE(SAS)。
(2)解：∠BFC的大小不变。
证明：
∵△ACD≌△CBE，
∴∠ACD=∠CBE。
∵∠BFC=180°-∠FBC-∠BCD，
又
∵∠FBC=∠ACD，
∴∠BFC=180°-∠ACD-∠BCD=180°-∠ACB。
∵∠ACB=60°，
∴∠BFC=180°-60°=120°。
故∠BFC的大小不变，始终为120°。

19. 如下图,已知 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 108^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,求证：$BC = AC + CD$。

答案： 证明:在线段BC上截取BE=BA，连接DE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABC.
在△ABD和△EBD中，
$\begin{cases}BA = BE\\∠ABD = ∠EBD\\BD = BD\end{cases}$，
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB.
∵AB=AC，∠A=108°，
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$×(180°−108°)=36°.
∴∠ABD=∠EBD=18°.
∴∠ADB=∠EDB=180°−∠A−∠ABD=180°−108°−18°=54°.
∴∠CDE=180°−∠ADB−∠EDB=180°−54°−54°=72°.
∠DEC=180°−∠BED=180°−108°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∵BC=BE+EC，BE=AB=AC，
∴BC=AC+CD.

20. (1) 如图 1,在直线 $AB$ 上,点 $P$ 在 $A$,$B$ 两点之间,点 $M$ 为线段 $PB$ 的中点,点 $N$ 为线段 $AP$ 的中点,若 $AB = n$,且 $n$ 使关于 $x$ 的方程 $(n - 4)x = 6 - n$ 无解。
① 求线段 $AB$ 的长；
② 线段 $MN$ 的长与点 $P$ 在线段 $AB$ 上的位置有关吗？请说明理由。
(2) 如图 2,点 $C$ 为线段 $AB$ 的中点,点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上,试说明 $\frac{PA + PB}{PC}$ 的值不变。

答案：
(1)①解：
∵关于$x$的方程$(n - 4)x = 6 - n$无解，
∴$n - 4 = 0$，
解得$n = 4$，
∴线段$AB$的长为$4$。
②解：无关，理由如下：
∵点$M$为线段$PB$的中点，点$N$为线段$AP$的中点，
∴$PM = \frac{1}{2}BP$，$PN = \frac{1}{2}AP$，
∵$MN = PM + PN$，
∴$MN = \frac{1}{2}BP + \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2}(BP + AP) = \frac{1}{2}AB$，
∵$AB$的长为$4$，
∴$MN = \frac{1}{2}×4 = 2$，与点$P$的位置无关。
(2)证明：
∵点$C$为线段$AB$的中点，
∴$AC = BC = \frac{1}{2}AB$，
∵点$P$在线段$CB$的延长线上，
∴$PA = PC - AC$，$PB = PC - BC$，
∵$AC = BC$，
∴$PA + PB = (PC - AC) + (PC - BC) = 2PC - (AC + BC) = 2PC - AB$，
又
∵$AB = 2BC$，$PC = BC + BP$，
但$PA + PB = (AC + CP) + (PC - BC) = CP + AC + PC - BC$，
∵$AC = BC$，
∴$PA + PB = 2PC$，
∴$\frac{PA + PB}{PC} = \frac{2PC}{PC} = 2$，
∴$\frac{PA + PB}{PC}$的值不变，为$2$。