《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

10. 有足够多如图的长方形和正方形的卡片, 如果分别选取 1 号、2 号、3 号卡片各 1 张、2 张、3 张, 可不重叠、无缝隙地拼成下图中的大长方形, 则运用拼图前、后面积之间的关系可得等式$ a^{2}+3 a b+2 b^{2}=(a+2 b)(a+b) $.

答案： 10. $ a^{2}+3 a b+2 b^{2}=(a+2 b)(a+b) $

11. 若 $ x^{2}+k $ 在实数范围内可以因式分解, 则 $ k $ 的值可以为$-1$. (只填一个)

答案： 11. $-1$（答案不唯一）

12. 若一个四位正整数 $ \overline{abcd} $ 满足 $ a + c = b + d $, 我们就称该数是“交替数”. 若一个“交替数” $ m $ 满足千位数字与百位数字的平方差是 15, 且十位数字与个位数字的和能被 5 整除, 则满足条件的 $ m $ 的最小值为______4114.

答案： 12. 4114

13. 不改变分式的值, 将分式 $ \frac{1-\frac{1}{3}a}{1 - a} $ 的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为$\frac{a - 3}{3a - 3}$.

答案： 13. $\frac{a - 3}{3a - 3}$

14. 甲同学 2 小时清点完一批图书的一半, 乙同学加入清点另一半图书的工作, 两人合作 1.5 小时清点完另一半图书. 如果乙同学单独清点这批图书需要 $ x $ 小时, 则根据题意可列方程为$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}\right) × 1.5=\frac{1}{2}$.

答案： 14. $\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}\right) × 1.5=\frac{1}{2}$

15. 已知 $ a^{3}+3a^{2}+a = 0 $, 则 $ \frac{2023a^{2}}{a^{4}-2023a^{2}+1} $ 的值为0 或 $-\frac{2023}{2016}$.

答案： 15. 0 或 $-\frac{2023}{2016}$

16. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法, 其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法:
例如: $ x^{2}-2xy + y^{2}-4= (x^{2}-2xy + y^{2})-4= (x - y)^{2}-2^{2}= (x - y - 2)(x - y + 2) $.
②拆项法:
例如: $ x^{2}+2x - 3= x^{2}+2x + 1 - 4= (x + 1)^{2}-2^{2}= (x + 1 - 2)(x + 1 + 2)= (x - 1)(x + 3) $.
(1) 仿照以上方法, 按照要求分解因式:
①用分组分解法分解因式 $ 4x^{2}+4x - y^{2}+1 $;
②用拆项法分解因式 $ x^{4}-3x^{2}+1 $.
(2) 已知 $ a,b,c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的三条边长且满足 $ a^{2}+5b^{2}+c^{2}-4ab - 6b - 10c + 34 = 0 $, 求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： 16.
(1)①$(2 x+1+y)(2 x+1-y)$
②$[(x - 1)(x + 1)-x][(x - 1)(x + 1)+x]$
(2)解：$\because a^{2}+5 b^{2}+c^{2}-4 a b-6 b-10 c+34$
$=a^{2}+4 b^{2}-4 a b+b^{2}-6 b+9+c^{2}-10 c+25$
$=(a - 2 b)^{2}+(b - 3)^{2}+(c - 5)^{2}=0$，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}a - 2 b=0 \\ b - 3=0 \\ c - 5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=3 \\ c=5\end{array}\right.$，$\therefore \triangle A B C$的周长为 14.