《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

5. 在 3.14,$\frac{23}{7}$,$-\sqrt{2}$,$\sqrt[3]{27}$,$\pi$ 这几个数中,无理数有(B)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

6. 要使代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 8}}$ 有意义,则 $x$ 的取值范围是x＞8。

答案： x＞8

7. 如果最简二次根式 $\sqrt[b + 1]{2a + 3}$ 和 $\sqrt{a + 3b}$ 是同类二次根式,则 $ab=$0。

答案： 0

8. 计算：
(1) $3×(-\frac{1}{42})^{0}-\sqrt{16}+(\frac{1}{2})^{-1}$；
(2) $(4ab^{3}-8a^{2}b^{2})÷4ab + 2a(2a - b)$；
(3) $\sqrt{48}÷\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
(4) $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5}+\sqrt{2})$。

答案：
(1)解：原式$=3×1 - 4 + 2$
$=3 - 4 + 2$
$=1$
(2)解：原式$=4ab^{3}÷4ab - 8a^{2}b^{2}÷4ab + 4a^{2} - 2ab$
$=b^{2} - 2ab + 4a^{2} - 2ab$
$=b^{2} - 4ab + 4a^{2}$
(3)解：原式$=\sqrt{48×2×12} + 2\sqrt{6}$
$=\sqrt{1152} + 2\sqrt{6}$
$=24\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$
(4)解：原式$=5 + 2\sqrt{10} + 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2}$
$=7 + 2\sqrt{10} - \sqrt{5} - \sqrt{2}$

9. 先化简,再求值：$(x - y)^{2}-(x + y)(x - y)-2(y^{2}+1)$,其中 $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$,$y = \sqrt{2}-\sqrt{3}$。

答案： 解：原式$=x^{2}-2xy+y^{2}-(x^{2}-y^{2})-2y^{2}-2$
$=x^{2}-2xy+y^{2}-x^{2}+y^{2}-2y^{2}-2$
$=-2xy-2$
当$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$时，
$xy=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=2-3=-1$
原式$=-2×(-1)-2=2-2=0$

10. 实数 $a$,$b$ 在数轴上的位置如下图所示,化简：$|a - b|-\sqrt{a^{2}}-\sqrt{(-b)^{2}}$。

答案： 解：由数轴可知，$b ＜ 0 ＜ a$，
$\therefore a - b ＞ 0$，
则$|a - b| - \sqrt{a^{2}} - \sqrt{(-b)^{2}}$
$= a - b - |a| - |-b|$
$= a - b - a - (-b)$
$= a - b - a + b$
$= 0$

11. 设实数 $\sqrt{7}$ 的整数部分为 $a$,小数部分为 $b$。
(1) 计算：$|b - \frac{1}{2}|$；
(2) 求 $(2a + b)(2a - b)$ 的值。

答案： $(1)$ 计算$\vert b - \frac{1}{2}\vert$
- **步骤一：确定$a$和$b$的值
因为$4\lt7\lt9$，根据不等式性质，对不等式两边同时开平方可得$\sqrt{4}\lt\sqrt{7}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{7}\lt3$。
所以$\sqrt{7}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=\sqrt{7}-2$。
- **步骤二：计算$\vert b - \frac{1}{2}\vert$
将$b=\sqrt{7}-2$代入$\vert b - \frac{1}{2}\vert$可得：
$\vert\sqrt{7}-2-\frac{1}{2}\vert=\vert\sqrt{7}-\frac{5}{2}\vert$
因为$\sqrt{7}\approx2.65$，$\frac{5}{2}=2.5$，$\sqrt{7}\gt\frac{5}{2}$，所以$\vert\sqrt{7}-\frac{5}{2}\vert=\sqrt{7}-\frac{5}{2}$。
$(2)$ 求$(2a + b)(2a - b)$的值
- **步骤一：化简$(2a + b)(2a - b)$
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，对于$(2a + b)(2a - b)$，其中$m = 2a$，$n = b$，则$(2a + b)(2a - b)=(2a)^2-b^2$。
- **步骤二：代入$a$和$b$的值进行计算
已知$a = 2$，$b=\sqrt{7}-2$，则：
$(2a)^2-b^2=(2×2)^2-(\sqrt{7}-2)^2$
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，$(\sqrt{7}-2)^2=(\sqrt{7})^2-2×\sqrt{7}×2 + 2^2=7 - 4\sqrt{7}+4=11 - 4\sqrt{7}$。
所以$(2×2)^2-(\sqrt{7}-2)^2=16-(11 - 4\sqrt{7})=16 - 11+4\sqrt{7}=5 + 4\sqrt{7}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{7}-\frac{5}{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{5 + 4\sqrt{7}}$。