《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

11. 已知关于 x 的不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-2＜0,\\ x-a≥0\end{array} \right. $有以下说法:
①如果$a= -2$,那么不等式组的解集是$-2≤x＜2$;②如果不等式组的解集是$-3≤x＜2$,那么$a= -3$;③如果不等式组的整数解只有-2,-1,0,1,那么$a= -2$;④如果不等式组无解,那么$a＞2.$
其中所有正确说法的序号是①②④.

答案： ①②④

12. 有一个两位数,个位上的数字是 a,十位上的数字是 b,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小.

答案： 解：由题意，得原来的两位数为 $ 10b + a $，新得到的两位数为 $ 10a + b $，
$ \therefore 10a + b - (10b + a) = 10a + b - $10b - a = 9(a - b)，
$ \therefore $ 当 $ a ＞ b $ 时，$ a - b ＞ 0 $，则 $ 9(a - b) ＞ 0 $，
$ \therefore $ 新得到的两位数大于原来的两位数；
当 $ a = b $ 时，$ a - b = 0 $，则 $ 9(a - b) = 0 $，
$ \therefore $ 新得到的两位数等于原来的两位数；
当 $ a ＜ b $ 时，$ a - b ＜ 0 $，则 $ 9(a - b) ＜ 0 $，
$ \therefore $ 新得到的两位数小于原来的两位数.

13. 我们定义,关于同一个未知数的不等式 A和 B,两个不等式的解集相同,则称 A 与 B为同解不等式.
(1)若关于 x 的不等式 A:$1-3x＞0$与不等式 B:$\frac {3x+a}{2}＜1$是同解不等式,求 a 的值;
(2)若关于 x 的不等式 C:$x+1＞mn$与不等式 D:$x-3＞m$是同解不等式,其中 m,n 是正整数,求 m,n 的值;
(3)若关于 x 的不等式 P:$(2a-b)x+3a-4b＜0$与不等式 Q:$\frac {14x-1}{2}＞\frac {7}{2}-2x$是同解不等式,解关于 x 的不等式$(a-4b)x+2a-3b＜0.$

答案：
(1) 解：解不等式 $ A $，得 $ x ＜ \frac{1}{3} $，
解不等式 $ B $，得 $ x ＜ \frac{2 - a}{3} $，
由题意，得 $ \frac{1}{3} = \frac{2 - a}{3} $，解得 $ a = 1 $.
(2) 解：解不等式 $ C $，得 $ x ＞ mn - 1 $，
解不等式 $ D $，得 $ x ＞ m + 3 $，
$ \therefore mn - 1 = m + 3 $，$ \therefore m = \frac{4}{n - 1} $，
$ \because m $，$ n $ 是正整数，$ \therefore n - 1 $ 的值为 1 或 4 或 2，
$ \therefore m = 4 $，$ n = 2 $ 或 $ m = 1 $，$ n = 5 $ 或 $ m = 2 $，$ n = 3 $.
(3) 解：解不等式 $ P $，得 $ x ＞ \frac{4b - 3a}{2a - b} (2a - b ＜ 0) $，
解不等式 $ Q $，得 $ x ＞ \frac{4}{9} $，$ \therefore \frac{4b - 3a}{2a - b} = \frac{4}{9} $，
整理，得 $ 7a = 8b $，$ \therefore 4b = 3.5a $，
$ \because 2a - b ＜ 0 $，$ \therefore a ＜ 0 $，
$ \therefore a - 4b = a - 3.5a = -2.5a ＞ 0 $，
$ \therefore (a - 4b)x + 2a - 3b ＜ 0 $ 的解为 $ x ＜ - \frac{1}{4} $.